Как построить векторную диаграмму токов и напряжений
Диаграмма — это проверка расчёта на глаз: если векторы не сходятся в треугольник, ошибка в числах. Разбираем построение для последовательной RLC-цепи и смотрим, что происходит при резонансе.
Чтобы построить векторную диаграмму последовательной цепи: возьми ток за опорный вектор и отложи его по горизонтали, потому что ток во всех элементах один. Напряжение на резисторе строй сонаправленно току, напряжение на катушке — на 90° вперёд, на конденсаторе — на 90° назад. Сумма трёх векторов даёт напряжение источника, а угол между ним и током — это сдвиг фаз φ. Для параллельной цепи опорным берут напряжение, а складывают токи ветвей.
Метод по шагам
Выбери опорный вектор
Последовательная цепь — опорный ТОК (он общий). Параллельная — опорное НАПРЯЖЕНИЕ (оно общее). Опорный вектор кладут по горизонтали.
Отложи напряжения элементов
U_R вдоль тока, U_L на 90^\circ против часовой стрелки, U_C на 90^\circ по часовой. Длины — в выбранном масштабе, например 1 см на 20 В.
Сложи векторы
Правило многоугольника: из конца одного вектора строишь следующий. Замыкающий вектор от начала к концу — напряжение источника.
Сними угол сдвига
\varphi — угол между напряжением источника и током. Положительный, если x_L > x_C: ток отстаёт, цепь индуктивная. Отрицательный — цепь ёмкостная.
Проверь расчётом
U = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2} и \operatorname{tg}\varphi = \frac{U_L - U_C}{U_R}. Не сошлось с чертежом — ошибка в числах, а не в масштабе.
Пример: диаграмма для последовательной RLC-цепи
Условие
К цепи из последовательно соединённых R = 30 Ом, катушки L = 0{,}191 Гн и конденсатора C = 127{,}4 мкФ приложено напряжение u(t) = 141\sin(314t) В. Найди ток, напряжения на элементах, угол сдвига фаз и построй векторную диаграмму.
Решение по шагам
- Реактивные сопротивления: x_L = \omega L = 314 \cdot 0{,}191 = 60 Ом, x_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \cdot 127{,}4\cdot10^{-6}} = 25 Ом.
- Полное сопротивление: |\underline{Z}| = \sqrt{30^2 + (60-25)^2} = 46{,}08 Ом, угол \varphi = \operatorname{arctg}\frac{35}{30} = 49{,}38^\circ.
- Действующее напряжение: U = \frac{141}{\sqrt{2}} = 99{,}7 В.
- Действующий ток: I = \frac{99{,}7}{46{,}08} = 2{,}164 А, мгновенное значение i(t) = 3{,}06\sin(314t - 49{,}38^\circ) А.
- Напряжения на элементах: U_R = 2{,}164 \cdot 30 = 64{,}9 В, U_L = 2{,}164 \cdot 60 = 129{,}8 В, U_C = 2{,}164 \cdot 25 = 54{,}1 В.
- Проверка по диаграмме: \sqrt{64{,}9^2 + (129{,}8-54{,}1)^2} = 99{,}7 В — совпало с напряжением источника.
- Мощности: P = I^2 R = 140{,}4 Вт, Q = I^2 (x_L - x_C) = 163{,}7 вар.
- Резонанс напряжений наступит, если увеличить ёмкость до C = 53{,}1 мкФ: тогда x_C = x_L = 60 Ом, ток вырастет до 3,32 А, а U_L = U_C = 199{,}3 В — вдвое больше напряжения источника.
Ответ: I = 2{,}164 А, U_R = 64{,}9 В, U_L = 129{,}8 В, U_C = 54{,}1 В, \varphi = 49{,}38^\circ (ток отстаёт), P = 140{,}4 Вт, Q = 163{,}7 вар.
Числа проверены независимым расчётом на комплексных числах; диаграмма построена тем же кодом, что рисует чертежи в ответах сервиса.
Что проверяет преподаватель
Масштаб подписан
На диаграмме обязаны стоять масштабы: во сколько вольт и ампер один сантиметр. Без них чертёж — просто картинка.
Углы, а не длины
Ошибку в 5% длины простят, а перепутанное направление U_C — нет: это уже другая физика цепи.
Замыкающий вектор
Вектор напряжения источника строится ОТ начала первого вектора К концу последнего, а не отдельно от нуля.
Ток и напряжение на одной диаграмме
Их рисуют в разных масштабах, и это нормально, но масштаб тока подписывают отдельно.
Частые вопросы
Если X_L больше X_C — куда смотрит вектор?
Вверх. Напряжение на катушке опережает ток на 90^\circ и откладывается вверх от опорного вектора, на конденсаторе отстаёт на 90^\circ и идёт вниз. Складываются они как противоположно направленные, поэтому остаётся разность U_L - U_C. При X_L > X_C она положительна: цепь носит индуктивный характер, суммарный вектор реактивного напряжения смотрит вверх, а полное напряжение опережает ток. При X_L < X_C всё зеркально, при равенстве — резонанс напряжений, реактивная часть обнуляется.
Почему ток берут за опорный вектор?
В последовательной цепи ток одинаков во всех элементах, поэтому от него удобно отсчитывать все напряжения. В параллельной цепи общим является напряжение — опорным берут его.
Что показывает резонанс на диаграмме?
Векторы U_L и U_C равны и противоположны, они гасят друг друга. Напряжение источника совпадает с U_R, а угол сдвига становится нулевым.
Можно ли строить диаграмму по мгновенным значениям?
Нет. Длины векторов откладывают в действующих значениях, либо во всех амплитудных сразу. Смешивать нельзя — диаграмма перестанет сходиться.
Полезное рядом
Проверим твою диаграмму
Сфотографируй свою цепь или готовый чертёж — Вникай посчитает токи и напряжения и построит диаграмму, с которой можно сверить свою.