Задание 10 ЕГЭ профиль: текстовая задача на движение, работу и смеси
Единственное задание первой части, где сначала надо составить уравнение — и где чаще всего ошибаются именно в составлении, а не в решении.
Чтобы решить задание 10 ЕГЭ по профильной математике, обозначьте искомую величину буквой и заполните таблицу: для движения это скорость, время и расстояние, для работы — производительность, время и объём работы, для смесей — масса раствора, доля вещества и масса вещества. Уравнение получается из того, что в условии сравнивается: разница времени, равенство расстояний или суммарная работа. После решения проверьте корень по смыслу и ответьте именно на вопрос задачи.
В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 (ФИПИ, обсуждение до 30 сентября 2026) текстовая задача идёт под номером 11: в первой части появилось новое задание 6 про случайные величины. Тема и метод прежние.
Метод по шагам
Обозначь неизвестное
Буквой обозначай то, что спрашивают, — тогда не придётся в конце пересчитывать. При движении по реке удобно брать собственную скорость лодки.
Заполни таблицу
Три столбца: скорость, время, расстояние. Каждая строка — участок пути. Время выражается делением: t = \frac{s}{v}.
Составь уравнение по сравнению
«На час быстрее» — это разность времён, «встретились» — равенство времён, «вместе за 12 часов» — сумма производительностей.
Реши и проверь смыслом
Скорость лодки больше скорости течения, время положительно, доля вещества от 0 до 1. Корень, нарушающий это, отбрасывается.
Разбор типовой задачи: лодка против течения
Условие
Моторная лодка прошла по реке 24 км против течения и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 1 час меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.
Решение по шагам
- Пусть v — собственная скорость лодки, км/ч. Тогда против течения она идёт со скоростью v - 2, по течению — v + 2.
- Время против течения: \frac{24}{v-2}; время по течению: \frac{24}{v+2}.
- Обратный путь на час быстрее, значит \frac{24}{v-2} - \frac{24}{v+2} = 1.
- Приводим к общему знаменателю: \frac{24(v+2) - 24(v-2)}{(v-2)(v+2)} = 1, то есть \frac{96}{v^2 - 4} = 1.
- Отсюда v^2 - 4 = 96, v^2 = 100, v = 10 (корень -10 не подходит: скорость положительна).
- Проверка: против течения \frac{24}{8} = 3 ч, по течению \frac{24}{12} = 2 ч, разница ровно 1 час.
Ответ: 10 км/ч
Ответ подтверждён перебором: скорость перебиралась с шагом 0,00001 км/ч, и условие «разница времён равна часу» выполнилось при 10,00000 км/ч.
Где теряют балл в задании 10
Скорости течения прибавлены не туда
Против течения скорость МЕНЬШЕ: v - 2. Перепутав знаки, получают верное по форме уравнение с неверным ответом.
Ответили не на тот вопрос
Нашли скорость по течению, а спрашивали собственную. Подчеркните вопрос в условии перед тем, как записывать ответ.
Потерян второй корень
Квадратное уравнение даёт два корня, и отбрасывать лишний нужно с объяснением: скорость не бывает отрицательной.
Разные единицы
Минуты и часы в одном уравнении — гарантированная ошибка. «На 20 минут быстрее» это \frac{1}{3} часа, если остальное в часах.
Частые вопросы
Какие типы текстовых задач встречаются в задании 10?
Движение навстречу и вдогонку, движение по реке, средняя скорость, совместная работа, бассейн с трубами, проценты и сложный процент, сплавы и смеси. Каждый тип решается своей таблицей, но принцип общий: обозначить неизвестное и составить уравнение по сравнению.
Как быстро составлять уравнение?
Ищите в условии слова сравнения: «на … больше», «в … раз быстрее», «вместе», «одновременно». Именно они превращаются в знак равенства, а всё остальное — в выражения слева и справа.
Можно ли решать подбором?
В первой части ответ — число, и подбор формально даст балл. Но на нецелых ответах он не работает, а времени отнимает больше, чем уравнение. Проверять ответ подстановкой — да, искать подбором — нет.
Полезное рядом
Проверим твоё решение по критериям
Сфотографируй запись — Вникай разберёт ход и покажет, где теряется балл.