Задание 3 ЕГЭ профиль: стереометрия и объёмы тел
Задание на объёмы и площади поверхности, где почти всё решается одной идеей подобия — и на ней же теряется балл: объём меняется не так, как размеры.
Чтобы решить задание 3 ЕГЭ по профильной математике, определите, как связаны исходное тело и новое: при подобии с коэффициентом k площади меняются в k в квадрате раз, а объёмы — в k в кубе раз. Если тело просто разрезано или дополнено, считайте по частям: объём призмы это площадь основания на высоту, объём пирамиды и конуса — треть от того же произведения. Половина задач решается без вычисления самих объёмов, через отношение.
Метод по шагам
Назови тело и формулу
Призма и цилиндр — V = S_{осн} \cdot h; пирамида и конус — V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h; шар — V = \frac{4}{3}\pi R^3. Множитель \frac{1}{3} у «острых» тел забывают чаще всего.
Ищи подобие
Если тело срезано плоскостью, параллельной основанию, отсечённая часть подобна целому. Коэффициент — отношение высот или радиусов.
Возведи коэффициент в степень
Длины — в первой степени, площади — во второй, объёмы — в третьей. При k = \frac{1}{2} объём меньше не вдвое, а в восемь раз.
Отвечай на поставленный вопрос
Спросили «сколько долить», а не «каков полный объём»: вычтите то, что уже есть. На этом теряют балл при верном ходе.
Разбор типовой задачи: конический сосуд
Условие
В сосуд, имеющий форму конуса, налили 50 мл жидкости — она заполнила сосуд ровно до половины высоты. Сколько миллилитров нужно долить, чтобы заполнить сосуд доверху?
Решение по шагам
- Сосуд — конус вершиной вниз, поэтому налитая жидкость тоже имеет форму конуса, подобного сосуду.
- Коэффициент подобия равен отношению высот: k = \frac{h/2}{h} = \frac{1}{2}. Радиус поверхности жидкости тоже вдвое меньше радиуса сосуда — это видно на осевом сечении.
- Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента: \frac{V_{жидк}}{V_{сосуда}} = k^3 = \frac{1}{8}.
- Значит полный объём сосуда V = 8 \cdot 50 = 400 мл.
- Долить нужно разницу: 400 - 50 = 350 мл.
- Проверка формулой: V = \frac{1}{3}\pi R^2 h, а у жидкости \frac{1}{3}\pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3}\pi R^2 h — то же отношение.
Ответ: Долить нужно 350 мл
Отношение объёмов подтверждено численно: объём конуса посчитан суммированием тонких дисков и для полного сосуда оказался ровно в 8,0000 раза больше налитого.
Где теряют балл в задании 3
Объём делят пополам
«Налито до половины высоты» не значит «половина объёма». У конуса и пирамиды нижняя половина по высоте — это одна восьмая объёма, если вершина внизу, и семь восьмых, если вершина вверху.
Забыт множитель одна третья
Конус и пирамида — треть от произведения площади основания на высоту. Без этого множителя ответ ровно втрое больше нужного.
Коэффициент во второй степени вместо третьей
k^2 — это отношение площадей: боковой поверхности, сечения. Для объёмов всегда k^3.
Ответили не на тот вопрос
Нашли полный объём 400 и записали его, хотя спрашивали, сколько долить. Перечитайте последнюю строку условия перед записью ответа.
Частые вопросы
Какие формулы объёма нужно помнить?
Призма и цилиндр — площадь основания на высоту; пирамида и конус — треть от того же; шар — четыре третьих пи эр в кубе. Площадь боковой поверхности цилиндра — два пи эр аш, конуса — пи эр эль, где эль образующая. Справочных материалов на экзамене не дают.
Как понять, что тела подобны?
Если тело срезано плоскостью, параллельной основанию, или все размеры изменены в одно и то же число раз. Тогда достаточно найти коэффициент по любой паре соответствующих длин.
Что делать, если ответ не целый?
Задания первой части рассчитаны на целый ответ или конечную десятичную дробь. Получилось иррациональное число — почти наверняка потеряна треть, квадрат или множитель пи, который должен был сократиться.
Полезное рядом
Проверим твоё решение по критериям
Сфотографируй запись — Вникай разберёт ход и покажет, где теряется балл.