Задание 8 ЕГЭ профиль: производная, касательная и первообразная
Задание, где всё решается по картинке — и где теряют балл, перепутав график функции с графиком её производной.
Чтобы решить задание 8 ЕГЭ по профильной математике, сначала поймите, что именно нарисовано: график самой функции или график её производной. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, то есть тангенсу угла её наклона; его считают по клеткам как отношение подъёма к пробегу. Если нарисована производная, то нули на графике — это точки экстремума функции, участки выше оси — возрастание, ниже оси — убывание.
В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 (ФИПИ, обсуждение до 30 сентября 2026) производная и первообразная идут под номером 9: в первой части появилось новое задание 6 про случайные величины. Тема и метод прежние.
Метод по шагам
Прочитай подпись к рисунку
«График функции y = f(x)» и «график производной y = f'(x)» — два разных условия. Половина потерянных баллов рождается здесь.
Найди две точки на прямой
Для касательной выбирай узлы сетки, где линия проходит ровно через пересечение клеток: так координаты снимаются без погрешности.
Посчитай угловой коэффициент
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} — «подъём делить на пробег». Прямая идёт вниз — коэффициент отрицательный, и знак минус обязателен в ответе.
Переведи в ответ на вопрос
Спросили производную — это k. Спросили точки экстремума по графику производной — это места, где она пересекает ось, меняя знак. Касание оси без смены знака экстремумом не является.
Разбор типовой задачи: производная по касательной
Условие
На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0 = 1. Касательная проходит через точки (-3;\ 3{,}5) и (5;\ 7{,}5). Найдите значение производной f'(x_0).
Решение по шагам
- Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной: f'(x_0) = k. Само значение f(x_0) для ответа не нужно.
- Берём две точки, через которые проходит касательная: (-3;\ 3{,}5) и (5;\ 7{,}5).
- Считаем угловой коэффициент: k = \frac{7{,}5 - 3{,}5}{5 - (-3)} = \frac{4}{8} = 0{,}5.
- Прямая поднимается слева направо, значит коэффициент положительный — знак сходится с картинкой.
- Итого f'(1) = 0{,}5.
Ответ: f'(x_0) = 0{,}5
Ответ подтверждён численно: для функции с этого рисунка производная в точке x_0 = 1 посчитана по определению, через предел разностного отношения, и дала 0,500000000.
Где теряют балл в задании 8
Спутали функцию и производную
По графику ПРОИЗВОДНОЙ нельзя искать наибольшее значение функции, а по графику ФУНКЦИИ — промежутки, где производная положительна, без анализа наклона. Первым делом читайте подпись.
Потерян знак
Убывающая касательная даёт отрицательную производную. Ответ «2» вместо «−2» — самая частая потеря балла в этом номере.
Точки сняты не по узлам
Если координаты взяты «на глаз» между клетками, k получается нецелым и неверным. Ищите пересечения линии с узлами сетки.
Экстремум там, где касание оси
Если график производной коснулся оси и вернулся, знак не изменился — экстремума нет. Считают только пересечения со сменой знака.
Частые вопросы
Чем отличается задание про касательную от задания про экстремумы?
Условием: в первом случае нарисована функция с касательной и спрашивают значение производной, во втором нарисована производная и спрашивают поведение функции. Приёмы решения разные, а картинки похожи.
Как считать производную по клеткам?
Найдите на касательной две точки в узлах сетки, посчитайте, на сколько клеток линия поднялась и на сколько ушла вправо, и поделите первое на второе с учётом цены деления.
Что такое первообразная в этом задании?
Обратная операция: если дан график производной, площадь под ним показывает приращение функции. Иногда спрашивают значение первообразной в точке — тогда считают площадь фигуры под графиком от начальной точки, участки ниже оси берут со знаком минус.
Полезное рядом
Проверим твоё решение по критериям
Сфотографируй запись — Вникай разберёт ход и покажет, где теряется балл.