Задание 17 ЕГЭ профиль: планиметрия с доказательством
Три балла, из которых первый дают за доказательство — а его чаще всего и не пишут, сразу берясь за вычисление.
Чтобы решить задание 17 ЕГЭ по профильной математике, работайте с двумя пунктами по отдельности. Пункт а — доказательство: почти всегда оно опирается на свойства вписанных и описанных четырёхугольников, подобие треугольников или углы между касательной и хордой. Пункт б — вычисление, где обычно нужны теорема косинусов, площадь через синус угла или свойства средней линии. Чертёж делайте крупным и в масштабе: в этом номере верный рисунок подсказывает ход решения.
В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 (ФИПИ, обсуждение до 30 сентября 2026) планиметрия второй части идёт под номером 18. Первая часть стала длиннее на один номер: добавилось задание 6 про случайные величины и переехала экономическая задача, а задание про наибольшее и наименьшее значение убрали. Метод и критерии не изменились.
Метод по шагам
Чертёж на половину страницы
Мелкий рисунок прячет подобие и равные углы. Отметьте на нём все данные сразу, включая точки касания и центры окружностей.
Пункт а — назови теорему
«В описанный четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны» — формулировка целиком, а не ссылка на «известное свойство».
Пункт б — ищи прямоугольный треугольник
Высота, радиус в точку касания, половина основания — из них почти всегда складывается треугольник, где работает теорема Пифагора.
Проверь вторым способом
Радиус, высоту или площадь полезно посчитать дважды разными путями: совпало — ответ верен, разошлось — ошибка найдена до сдачи.
Разбор типовой задачи: окружность в трапеции
Условие
В трапецию ABCD с основаниями BC = 4 и AD = 9 вписана окружность.
а) Докажите, что сумма боковых сторон трапеции равна 13.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если трапеция равнобедренная.
Решение по шагам
- Пункт а. Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны — это признак описанного четырёхугольника.
- Для трапеции ABCD это означает AB + CD = BC + AD.
- Подставляем данные: AB + CD = 4 + 9 = 13. Пункт а доказан.
- Пункт б. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому AB = CD = \frac{13}{2} = 6{,}5.
- Опустим высоту из вершины B на основание AD. Она отсекает отрезок \frac{AD - BC}{2} = \frac{9 - 4}{2} = 2{,}5.
- Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора h = \sqrt{6{,}5^2 - 2{,}5^2}. Под корнем 42{,}25 - 6{,}25 = 36, значит h = 6.
- Окружность вписана в трапецию, значит она касается обоих оснований, и расстояние между ними равно двум радиусам: h = 2r, откуда r = 3.
- Проверка вторым способом: для равнобедренной описанной трапеции радиус равен половине среднего геометрического оснований, r = \frac{\sqrt{BC \cdot AD}}{2} = \frac{\sqrt{36}}{2} = 3 — совпало.
Ответ: а) AB + CD = 13; б) r = 3
Ответ подтверждён по координатам: для трапеции с основаниями 4 и 9 и боковой стороной 6,5 расстояния от центра до обоих оснований и до боковых сторон равны 3,000000 — окружность действительно вписана.
Как берут баллы в задании 17
Доказательство без формулировки
«По свойству описанной трапеции» — недостаточно. Свойство надо назвать: суммы противоположных сторон равны. Это тот самый первый балл.
Высота не равна двум радиусам
Равенство h = 2r верно только когда окружность вписана и касается ОБОИХ оснований. Для произвольной трапеции с окружностью внутри оно неверно.
Чертёж не в масштабе
Если основания на рисунке почти равны, трапеция выглядит прямоугольником, и подобие с равными углами перестаёт быть видно.
Проверка вторым способом пропущена
Формула r = \frac{\sqrt{BC \cdot AD}}{2} для равнобедренной описанной трапеции даёт независимую сверку за полминуты.
Частые вопросы
Какие факты нужны чаще всего в задании 17?
Признаки вписанного и описанного четырёхугольников, угол между касательной и хордой, теорема о произведении отрезков хорд, подобие треугольников, теоремы синусов и косинусов, площадь через синус угла и свойства биссектрисы.
Сколько баллов дают за пункт а?
Один из трёх. Его ставят за доказательство, даже если пункт б не решён вовсе, — поэтому доказательство пишут первым и до конца.
Можно ли пользоваться подобием без доказательства подобия?
Нет. Нужно назвать признак: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам. Утверждение «треугольники подобны» без признака эксперт не засчитывает.
Полезное рядом
Проверим твоё решение по критериям
Сфотографируй запись целиком — Вникай разберёт оба пункта и покажет, где теряется балл.