Метод узловых потенциалов: разбор с примером
Когда в цепи много параллельных ветвей, узловых уравнений меньше, чем контурных. Разбираем цепь из трёх узлов по шагам и проверяем ответ двумя законами Кирхгофа и балансом мощности.
Чтобы решить цепь методом узловых потенциалов, выберите базисный узел и примите его потенциал равным нулю. Для каждого из оставшихся узлов запишите уравнение: потенциал узла, умноженный на сумму проводимостей всех подходящих к нему ветвей, минус потенциалы соседних узлов, умноженные на проводимости связывающих ветвей, равно узловому току — сумме отношений ЭДС к сопротивлениям тех ветвей, что подходят к узлу. Найдя потенциалы, вычислите токи ветвей по закону Ома через разность потенциалов. Число уравнений равно числу узлов минус один.
Метод по шагам
Выбери базисный узел
Обычно тот, где сходится больше всего ветвей, или узел с заземлением. Его потенциал принимают нулевым: \varphi_0 = 0. Уравнений останется на одно меньше, чем узлов.
Посчитай проводимости
G = \frac{1}{R} для каждой ветви. Собственная проводимость узла G_{11} — сумма проводимостей ВСЕХ ветвей, подходящих к узлу; взаимная G_{12} — проводимость ветви между двумя узлами.
Найди узловые токи
J_{11} = \sum \frac{E}{R} по ветвям с источниками, подходящим к узлу. Знак плюс, если ЭДС направлена К узлу, минус — если от него.
Реши систему
G_{11}\varphi_1 - G_{12}\varphi_2 = J_{11} для каждого узла. Взаимные проводимости входят со знаком минус всегда — выбирать направления, как в контурном методе, здесь не нужно.
Вычисли токи ветвей
I = \frac{E - (\varphi_{нач} - \varphi_{кон})}{R}, а для ветви без источника просто I = \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{R}. Отрицательный ток означает обратное направление.
Пример: цепь из трёх узлов
Условие
В цепи три узла. Между узлом 1 и базисным узлом 0 включена ветвь с E_1 = 50 В и R_1 = 10 Ом. Узлы 1 и 2 соединены резистором R_2 = 20 Ом. Между узлом 2 и базисным включены две ветви: E_3 = 40 В с R_3 = 20 Ом и резистор R_4 = 10 Ом. Найди потенциалы узлов и токи всех ветвей.
Решение по шагам
- Базисным берём узел 0: \varphi_0 = 0. Неизвестных два — \varphi_1 и \varphi_2, значит и уравнений два.
- Проводимости ветвей: \frac{1}{R_1} = 0{,}1 См, \frac{1}{R_2} = 0{,}05 См, \frac{1}{R_3} = 0{,}05 См, \frac{1}{R_4} = 0{,}1 См.
- Собственная проводимость первого узла: G_{11} = 0{,}1 + 0{,}05 = 0{,}15 См. Второго: G_{22} = 0{,}05 + 0{,}05 + 0{,}1 = 0{,}2 См. Взаимная: G_{12} = 0{,}05 См — это проводимость R_2.
- Узловые токи: у первого узла только ветвь с E_1, поэтому J_{11} = \frac{50}{10} = 5 А. У второго — ветвь с E_3: J_{22} = \frac{40}{20} = 2 А.
- Система:0{,}15\varphi_1 - 0{,}05\varphi_2 = 5-0{,}05\varphi_1 + 0{,}2\varphi_2 = 2
- Из второго уравнения \varphi_2 = 10 + 0{,}25\varphi_1. Подставляем в первое: 0{,}15\varphi_1 - 0{,}5 - 0{,}0125\varphi_1 = 5, откуда 0{,}1375\varphi_1 = 5{,}5 и \varphi_1 = 40 В.
- Тогда \varphi_2 = 10 + 0{,}25 \cdot 40 = 20 В.
- Токи ветвей: I_1 = \frac{E_1 - \varphi_1}{R_1} = \frac{50 - 40}{10} = 1 А; I_2 = \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{R_2} = \frac{20}{20} = 1 А; I_3 = \frac{E_3 - \varphi_2}{R_3} = \frac{40 - 20}{20} = 1 А; I_4 = \frac{\varphi_2}{R_4} = \frac{20}{10} = 2 А.
- Проверка первым законом Кирхгофа в узле 2: приходят I_2 + I_3 = 1 + 1 = 2 А, уходит I_4 = 2 А — сходится.
- Баланс мощности. Источники: 50 \cdot 1 + 40 \cdot 1 = 90 Вт. Приёмники: 1^2 \cdot 10 + 1^2 \cdot 20 + 1^2 \cdot 20 + 2^2 \cdot 10 = 10 + 20 + 20 + 40 = 90 Вт. Равенство выполнено.
Ответ: \varphi_1 = 40 В, \varphi_2 = 20 В; I_1 = I_2 = I_3 = 1 А, I_4 = 2 А; баланс мощности 90 Вт = 90 Вт.
Числа проверены независимым расчётом: система решена по правилу Крамера, выполнение первого закона Кирхгофа в обоих узлах и баланс мощности проверены отдельно.
Где чаще всего ошибаются
Проводимость вместо сопротивления
В уравнения входят \frac{1}{R}, а не R. Подставив сопротивления, получают правдоподобную, но неверную систему — и заметить это можно только по балансу.
Забыта ветвь в собственной проводимости
G_{11} — сумма проводимостей ВСЕХ ветвей узла, включая те, что идут к базисному. Пропущенная ветвь — самая частая ошибка метода.
Знак узлового тока
\frac{E}{R} берётся с плюсом, когда ЭДС направлена к узлу, и с минусом, когда от него. Со знаками самой ЭДС в ветви это не связано.
Взаимная проводимость с плюсом
G_{12} входит в уравнение ВСЕГДА со знаком минус. В отличие от контурного метода, здесь знак не зависит ни от каких направлений.
Ток ветви через потенциалы наоборот
В формуле I = \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{R} порядок узлов задаёт направление тока. Перепутав, получают верное число с неверным знаком.
Частые вопросы
Когда узловые потенциалы удобнее контурных токов?
Когда узлов меньше, чем независимых контуров: много параллельных ветвей между двумя-тремя узлами. В предельном случае двух узлов получается одно уравнение — это известный метод двух узлов.
Что делать с идеальным источником ЭДС без сопротивления?
Такая ветвь задаёт разность потенциалов напрямую: потенциал одного узла равен потенциалу другого плюс ЭДС. Уравнение для этого узла не составляют, а неизвестных становится на одно меньше.
Как учитывать источники тока?
Ток источника входит прямо в узловой ток J со знаком плюс, если направлен к узлу. Пересчитывать его в ЭДС не нужно — в этом методе источники тока учитываются проще всего.
Какой узел брать базисным?
Любой: ответ не изменится, изменятся только сами потенциалы, а напряжения и токи останутся теми же. Удобнее брать узел с наибольшим числом ветвей — уравнения получатся короче.
Полезное рядом
Проверим твой расчёт цепи
Сфотографируй схему с номиналами — Вникай составит узловые уравнения, найдёт потенциалы и проверит ответ балансом мощности.