Расчёт трёхфазной цепи: звезда и треугольник
Одна и та же нагрузка на том же напряжении даёт втрое разную мощность — всё решает схема соединения. Разбираем обе на числах и смотрим, что происходит при обрыве фазы.
При соединении треугольником фазное напряжение равно линейному, а линейный ток больше фазного в √3 ≈ 1,73 раза. При соединении звездой наоборот: линейный ток равен фазному, а фазное напряжение меньше линейного в √3 ≈ 1,73 раза. Поэтому одна и та же симметричная нагрузка, включённая треугольником, потребляет мощность втрое большую, чем включённая звездой. Расчёт ведут на одну фазу: находят комплексное сопротивление фазы, затем фазный ток, затем линейный и мощности.
Метод по шагам
Сопротивление фазы
Складывай комплексно: \underline{Z} = r + jx_L - jx_C. Для примера ниже \underline{Z} = 30 + j40 Ом, модуль |\underline{Z}| = 50 Ом, угол \varphi = 53{,}13^\circ.
Фазное напряжение
Треугольник: U_ф = U_л. Звезда: U_ф = U_л/\sqrt{3}. При U_л = 380 В это 380 В и 219,4 В соответственно.
Фазный ток
I_ф = U_ф / |\underline{Z}|. Считается на одну фазу: у симметричной нагрузки остальные две такие же, отличаются только фазой на 120^\circ.
Линейный ток
Треугольник: I_л = \sqrt{3}\,I_ф — токи двух ветвей сходятся в узле. Звезда: I_л = I_ф, потому что ветвь и провод — одно и то же.
Мощности
P = 3 I_ф^2 r, Q = 3 I_ф^2 x, S = 3 U_ф I_ф, а \cos\varphi = P/S. Проверь себя: S = \sqrt{P^2 + Q^2} обязано сойтись.
Пример: одна нагрузка, две схемы соединения
Условие
Симметричный трёхфазный приёмник: в каждой фазе активное сопротивление r = 30 Ом последовательно с индуктивным x_L = 40 Ом. Линейное напряжение сети U_л = 380 В. Найди фазные и линейные токи, активную, реактивную и полную мощность при соединении треугольником и звездой. Что изменится, если оборвётся фаза ab треугольника?
Решение по шагам
- Комплексное сопротивление фазы: \underline{Z} = 30 + j40 Ом, |\underline{Z}| = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50 Ом, \varphi = \operatorname{arctg}\frac{40}{30} = 53{,}13^\circ.
- Треугольник, фазное напряжение равно линейному: U_ф = 380 В, фазный ток I_ф = \frac{380}{50} = 7{,}6 А.
- Линейный ток треугольника: I_л = \sqrt{3} \cdot 7{,}6 = 13{,}16 А.
- Мощности треугольника: P = 3 \cdot 7{,}6^2 \cdot 30 = 5198 Вт, Q = 3 \cdot 7{,}6^2 \cdot 40 = 6931 вар, S = 3 \cdot 380 \cdot 7{,}6 = 8664 В·А, \cos\varphi = 0{,}6.
- Звезда, фазное напряжение меньше линейного: U_ф = \frac{380}{\sqrt{3}} = 219{,}4 В, ток I_ф = I_л = \frac{219{,}4}{50} = 4{,}39 А.
- Мощность звезды: P = 3 \cdot 4{,}39^2 \cdot 30 = 1733 Вт — ровно втрое меньше, чем у треугольника.
- Обрыв фазы ab: ток этой ветви I_{ab} = 0, две другие ветви остаются под линейным напряжением, их токи прежние 7,6 А.
- Линейные токи при обрыве: I_A = I_B = 7{,}6 А (по одной ветви), а I_C = 13{,}16 А — через узел c по-прежнему идут два тока.
- Мощность при обрыве: P = 2 \cdot 7{,}6^2 \cdot 30 = 3466 Вт, то есть две трети от исходной.
Ответ: Треугольник: I_ф = 7{,}6 А, I_л = 13{,}16 А, P = 5198 Вт, Q = 6931 вар, S = 8664 В·А. Звезда: I_ф = I_л = 4{,}39 А, P = 1733 Вт. При обрыве фазы ab: P = 3466 Вт, I_C = 13{,}16 А.
Числа проверены независимым расчётом на комплексных числах; рисунки построены тем же кодом, что чертит схемы в ответах сервиса.
Где чаще всего ошибаются
Путают, где стоит корень из трёх
У треугольника корень из трёх стоит у ТОКА, у звезды — у НАПРЯЖЕНИЯ. Проверка простая: у звезды линейный ток равен фазному, потому что это один и тот же провод.
Мощность по линейному току
P = 3 I_ф^2 r считается по ФАЗНОМУ току. Через линейные величины формула другая: P = \sqrt{3}\,U_л I_л \cos\varphi.
Обрыв фазы у треугольника
Две оставшиеся ветви остаются под полным линейным напряжением, их токи НЕ меняются. Меняются только линейные токи и суммарная мощность.
Нулевой провод у звезды
У симметричной нагрузки ток в нулевом проводе равен нулю. Он нужен для несимметричной: без него фазные напряжения перекосятся.
Частые вопросы
На сколько градусов сдвинуты линейные и фазные величины?
На 30^\circ. У звезды линейное напряжение больше фазного в \sqrt{3} раза и опережает его на 30^\circ; токи при этом совпадают. У треугольника зеркально: напряжения равны, а линейный ток больше фазного в \sqrt{3} раза и отстаёт от него на 30^\circ. Отсюда и правило для диаграммы: треугольник линейных величин повёрнут относительно звезды фазных ровно на 30^\circ.
Почему треугольник даёт втрое большую мощность?
Потому что каждая фаза оказывается под линейным напряжением, а не под меньшим в \sqrt{3} раза фазным. Мощность пропорциональна квадрату напряжения: (\sqrt{3})^2 = 3.
Как считать несимметричную нагрузку?
Пофазно: каждое сопротивление своё, токи считаются по своему напряжению, а линейные токи находятся по первому закону Кирхгофа в узлах. Мощности складываются по трём фазам.
Что делать, если задано только линейное напряжение?
Этого достаточно. Для треугольника фазное равно линейному, для звезды делится на корень из трёх. Величина фазного тока дальше находится законом Ома.
Полезное рядом
Проверим твою трёхфазную цепь
Сфотографируй условие со всеми данными — Вникай посчитает токи, мощности и построит векторную диаграмму.