Задание 5 ЕГЭ профиль: вероятность сложных событий
Задание 5 — вероятность из нескольких событий: независимые перемножают, несовместные складывают, а «хотя бы один» считают через противоположное. Прямой перебор здесь почти всегда ведёт к ошибке.
Задание 5 ЕГЭ профиль — вероятность сложного события. Независимые события перемножают, несовместные складывают, а формулировку «хотя бы один» переворачивают: единица минус вероятность того, что не произошло ни одного. Когда события пересекаются, работает правило сложения с вычитанием общей части. Вникай проверит твою запись по фото и покажет, где выбран не тот способ.
Метод по шагам
Реши, зависимы ли события
Если одно не влияет на другое, вероятности перемножают: три независимые лампы перегорают с вероятностью 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7. Если влияет — считают по частям, с изменившимся числом исходов.
«Хотя бы один» переворачивай
Прямой перебор вариантов «одна, две, три» долгий и ошибочный. Противоположное событие одно: P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни одного}).
Пересечение вычитай
Для событий, которые могут случиться вместе: P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Два автомата с кофе: 0{,}2 + 0{,}2 - 0{,}18 = 0{,}22 — вероятность, что кофе кончится хотя бы в одном; значит останется в обоих с вероятностью 1 - 0{,}22 = 0{,}78.
Выбор пары — это доли
Если из коробки берут два предмета, считают долю подходящих пар от всех пар. Пары «один синий и один красный» из 5 синих и 9 красных — это 5 \cdot 9 = 45 вариантов из \dfrac{25 \cdot 24}{2} = 300, то есть 0{,}15.
Разбор задания из демоверсии ФИПИ 2026
Условие
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0{,}7. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение по шагам
- Событие «хотя бы одна не перегорит» перебирать долго: подходят случаи «не перегорела одна», «две», «все три». Проще взять противоположное — «перегорели все три».
- Лампы независимы, поэтому вероятности перемножаются: 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}343.
- Остаётся вычесть из единицы: 1 - 0{,}343 = 0{,}657.
Ответ: 0{,}657
Условие — задание 5 демонстрационного варианта ЕГЭ-2026 ФИПИ. Ответ разбора совпадает с официальной таблицей ответов и проверен вручную.
Тот же прототип, другой вопрос
Одни и те же лампы, но спрашивают разное. Первым делом переведи вопрос в противоположное событие — дальше арифметика одинаковая.
Все три перегорят
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0{,}7. Найдите вероятность того, что в течение года перегорят все три лампы.
События независимы, значит вероятности перемножаются: 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7.
Ответ: 0{,}343
Хотя бы одна перегорит
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0{,}3. Найдите вероятность того, что в течение года перегорит хотя бы одна лампа.
Противоположное событие — «не перегорела ни одна», его вероятность 0{,}7^3 = 0{,}343. Искомое: 1 - 0{,}343.
Ответ: 0{,}657
Две лампы вместо трёх
Помещение освещается двумя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0{,}4. Найдите вероятность того, что в течение года перегорит хотя бы одна лампа.
«Ни одна не перегорела» — это 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36. Тогда ответ 1 - 0{,}36.
Ответ: 0{,}64
Два независимых события подряд
Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0{,}8. Он делает два выстрела. Найдите вероятность того, что он попадёт оба раза.
Выстрелы независимы, «и то, и другое» — умножение: 0{,}8 \cdot 0{,}8. Складывать здесь нельзя: сумма дала бы 1{,}6, а вероятность больше единицы не бывает.
Ответ: 0{,}64
Проверка, которая ловит почти любую ошибку: «хотя бы один» всегда даёт число БОЛЬШЕ вероятности одного события, а «все сразу» — меньше.
Где теряют балл
Считают «хотя бы один» перебором
Три слагаемых легко спутать и потерять вариант. Противоположное событие всегда одно, и вычислений в нём меньше.
Берут не то противоположное
Противоположное к «хотя бы одна не перегорит» — «перегорели все», а не «не перегорела ни одна». Неверный переход даёт 0{,}027 вместо 0{,}657.
Складывают зависимые события
Когда события могут произойти одновременно, простое сложение считает пересечение дважды. Общую часть вычитают.
Перемножают там, где события несовместны
Несовместные события вместе не происходят, их вероятности складывают. Умножение уместно только для независимых.
Частые вопросы
Как решать задачи со словами «хотя бы один»?
Через противоположное событие: единица минус вероятность того, что не произошло ни одного. Для трёх ламп с вероятностью перегорания 0,7 это 1 − 0,343 = 0,657.
Когда вероятности перемножают, а когда складывают?
Перемножают для независимых событий, которые происходят вместе. Складывают для несовместных, из которых случится ровно одно. Если события пересекаются, из суммы вычитают вероятность их совместного наступления.
Как посчитать вероятность выбора двух предметов?
Раздели число подходящих пар на общее число пар. Общее число пар из 25 предметов — произведение 25 на 24, делённое на 2, то есть 300.
Как проверить решение задания 5?
Сфотографируй запись и загрузи в Вникай в режиме «Проверь моё решение»: сервис решит задачу заново и скажет, где выбран не тот способ.
Полезное рядом
Проверь своё решение задания 5
Первая проверка с разбором — бесплатно и без регистрации. Вникай пересчитает вероятность независимо и покажет расхождение.