Задание 1 ЕГЭ профиль: планиметрия
Самое частое задание первой части. Один балл, который теряют не из-за геометрии, а из-за спешки: чертежа нет, пропорция записана наугад.
Чтобы решить задание 1 ЕГЭ по профильной математике, начните с чертежа в масштабе: почти все задачи этого номера решаются одним из четырёх фактов — сумма углов треугольника, теорема Пифагора, подобие треугольников и свойства вписанных углов. Найдите на рисунке подобные треугольники или прямой угол, запишите отношение сходственных сторон и решите пропорцию. Ответ в этом задании всегда число, и его стоит проверить на правдоподобие: катет не бывает длиннее гипотенузы, а угол треугольника — больше 180 градусов.
Метод по шагам
Начерти по условию
Рисунок от руки, но в примерном масштабе: если AH = 4, а BH = 5, эти отрезки должны выглядеть почти одинаково. Кривой чертёж подсказывает неверный ответ.
Отметь всё известное
Прямые углы, равные отрезки, данные длины и градусы — прямо на рисунке. Половина задач решается в тот момент, когда видно, что два треугольника подобны.
Найди опорный факт
Прямой угол — теорема Пифагора или подобие; окружность — вписанный угол вдвое меньше центрального; параллельные — равные накрест лежащие углы.
Запиши пропорцию и проверь
В подобных треугольниках сходственные стороны — те, что лежат против равных углов. Получив ответ, подставь его в чертёж: сходится ли с масштабом.
Разбор типовой задачи: высота из прямого угла
Условие
В треугольнике ABC угол C равен 90^\circ, CH — высота, проведённая к гипотенузе. Известно, что AH = 4, BH = 5. Найдите AC.
Решение по шагам
- Высота из прямого угла делит треугольник на два, подобных исходному: у \triangle ACH и \triangle ABC общий угол A и по прямому углу, значит они подобны.
- Из подобия \triangle ACH \sim \triangle ABC следует \frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}, то есть AC^2 = AH \cdot AB. Это и есть свойство катета: катет — среднее геометрическое между гипотенузой и своей проекцией на неё.
- Гипотенуза целиком: AB = AH + BH = 4 + 5 = 9.
- Подставляем: AC^2 = 4 \cdot 9 = 36, откуда AC = 6.
- Проверка теоремой Пифагора. Высота CH = \sqrt{AH \cdot BH} = \sqrt{20}, тогда в \triangle ACH: AC^2 = AH^2 + CH^2 = 16 + 20 = 36 — то же значение, ответ верен.
Ответ: AC = 6
Ответ подтверждён вторым способом: по координатам построен треугольник с прямым углом при C, и длина AC измерена напрямую — 6,000000.
Другие типы задания 1 — с ответами
Синус наименьшего угла
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 9. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
Гипотенуза по Пифагору: \sqrt{144 + 81} = 15. Наименьший угол лежит против меньшего катета — против 9. Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе: 9 : 15.
Ответ: 0{,}6
Синус острого угла по гипотенузе
В треугольнике ABC угол C равен 90^\circ, AB = 8, BC = 4. Найдите \sin A.
\sin A — это противолежащий катет к гипотенузе, то есть BC : AB = 4 : 8. Противолежащий углу A катет — именно BC, а не AC: здесь и путают.
Ответ: 0{,}5
Радиус описанной окружности
В треугольнике ABC угол B равен 72^\circ, угол C равен 63^\circ, BC = 2\sqrt{2}. Найдите радиус описанной окружности.
Третий угол: 180^\circ - 72^\circ - 63^\circ = 45^\circ. Сторона BC лежит против угла A, значит по теореме синусов \dfrac{BC}{\sin A} = 2R, откуда R = \dfrac{2\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}.
Ответ: 2
Трапеция с вписанной окружностью
Окружность вписана в трапецию, боковые стороны которой равны 9 и 18. Найдите среднюю линию трапеции.
У описанной около окружности трапеции суммы противоположных сторон равны: основания в сумме дают столько же, сколько боковые, то есть 9 + 18 = 27. Средняя линия — половина суммы оснований.
Ответ: 13{,}5
Общее у всех четырёх: чертёж от руки решает половину задачи. Подпиши на нём данные и отметь, что ищут, — тогда видно, какая теорема подходит.
Где теряют балл в задании 1
Проекция вместо гипотенузы
AC^2 = AH \cdot AB, а не AH \cdot BH: катет умножается на ВСЮ гипотенузу. Через AH \cdot BH считается высота, и это разные величины.
Чертёж не в масштабе
Нарисовав AH длиннее BH, легко перепутать, какой катет ищется. Тридцать секунд на аккуратный рисунок окупаются.
Сходственные стороны наугад
В пропорции подобия стороны ставят по углам, а не по порядку букв в названии. Выпишите соответствие углов и только потом отношение.
Ответ без проверки
Подстановка найденного числа обратно в условие занимает полминуты и ловит арифметику. В первой части проверять нечем, кроме здравого смысла.
Частые вопросы
Какие теоремы нужны для задания 1?
Сумма углов треугольника, теорема Пифагора, признаки подобия, свойства равнобедренного треугольника, вписанный и центральный углы, теорема о касательной и секущей, площадь через полупроизведение сторон и синус угла. Этого набора хватает почти на все варианты.
Нужен ли чертёж в бланке ответов?
Нет, в первой части в бланк заносится только число. Но черновик с рисунком экономит время и ловит ошибки, поэтому чертить стоит всегда.
Что делать, если фигура не узнаётся?
Ищите прямой угол, равные стороны или параллельные прямые — они задают способ решения. Если ничего не видно, проведите высоту или соедините центр окружности с точкой касания: эти два действия раскрывают большинство задач.
Полезное рядом
Проверим твоё решение по критериям
Сфотографируй запись из тетради — Вникай разберёт ход и покажет, где теряется балл.