Задание 18 ЕГЭ профиль: задача с параметром
Четыре балла и самая низкая решаемость всей работы. Параметр проверяет не алгебру, а умение увидеть картинку: что на ней стоит на месте, а что двигается.
Чтобы решить задание 18 ЕГЭ с параметром, сначала разделите переменную и параметр: приведите условие к виду «выражение с x равно a» или к системе, где a задаёт положение прямой или окружности. Дальше работает графический приём: постройте неподвижный график левой части и мысленно двигайте подвижную линию, отмечая положения, в которых число общих точек меняется. Эти положения — касание, проход через излом графика, через выколотую точку — и дают границы ответа. Каждую границу проверяйте подстановкой отдельно: именно на них теряют баллы, а не в вычислениях.
В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 (ФИПИ, обсуждение до 30 сентября 2026) задача с параметром идёт под номером 19. Первая часть стала длиннее на один номер: добавилось задание 6 про случайные величины и переехала экономическая задача, а задание про наибольшее и наименьшее значение убрали. Метод и критерии не изменились.
Метод по шагам
Отдели параметр
Перенеси всё с a в одну часть, всё с x — в другую. Цель — получить «неподвижная функция от x равна подвижной линии», а не разбирать два неизвестных сразу.
Построй неподвижную часть
Модуль раскрывай по промежуткам, а не одной формулой: на каждом куске это своя парабола или прямая. Отметь точки излома и вершины — число решений меняется именно там.
Двигай подвижную линию
Для y = a это горизонталь. Веди её снизу вверх и записывай, на каких промежутках сколько точек пересечения. Получается таблица «диапазон a — число корней».
Проверь каждую границу
Граничное значение подставь в исходное уравнение и посчитай корни руками. Строгое или нестрогое неравенство в ответе решается только так.
Разбор типовой задачи: три корня у уравнения с модулем
Условие
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение |x^2 - 4x + 3| = a имеет ровно три различных корня.
Решение по шагам
- Слева — неподвижная функция, справа — горизонтальная прямая y = a. Задача свелась к вопросу: при каком положении прямой у неё ровно три общие точки с графиком.
- Парабола y = x^2 - 4x + 3 имеет корни x = 1 и x = 3, а вершину в точке (2;\ -1).
- Модуль отражает вверх ту часть, что лежала ниже оси: между корнями появляется «горб» с вершиной (2;\ 1). Слева от x = 1 и справа от x = 3 график не меняется.
- Ведём прямую y = a снизу вверх. При a < 0 общих точек нет. При a = 0 их две — это сами корни. При 0 < a < 1 прямая режет и горб, и обе внешние ветви: четыре точки.
- При a = 1 прямая проходит ровно через вершину горба — две точки сливаются в одну, остаются три: x = 2 и две внешние.
- При a > 1 прямая выше горба и пересекает только внешние ветви — снова две точки.
- Ровно три корня встречаются в единственном положении прямой.
Ответ: a = 1
Ответ подтверждён перебором: для каждого a от 0 до 3 с шагом 0,001 число корней посчитано через дискриминанты двух квадратных уравнений — ровно три корня нашлись единственный раз, при a = 1.
Где теряют баллы в задании 18
Пропущен случай касания
Самые интересные значения параметра — те, где две точки сливаются в одну. Если разбирать только «много» и «мало», единственное верное значение теряется вместе с ответом.
Границы не проверены подстановкой
Ответ «a \le 1» вместо «a = 1» — типичная цена того, что граничное значение не подставили обратно. Проверка занимает минуту.
Модуль раскрыт одной формулой
|f(x)| — это два разных выражения на разных промежутках. Раскрытие «по всей прямой сразу» ломает график, а вместе с ним весь перебор случаев.
Нет вывода про число точек
Эксперт оценивает рассуждение. Рисунок без фразы «при таких a точек пересечения столько-то» — не обоснование, и полный балл за него не ставят.
Частые вопросы
Обязательно ли решать параметр графически?
Нет, но графический способ короче. Алгебраический разбор через дискриминанты тоже засчитывается, если перечислены все случаи и показано, почему других нет.
Сколько баллов даёт задание 18?
Четыре — вместе с заданием 19 это самые дорогие номера работы. Баллы ставят и за частичное продвижение, поэтому разобранные случаи стоит записывать, даже если ответ не дописан.
Что чаще всего встречается в этом номере?
Уравнения и системы с модулем, квадратичные выражения с параметром и задачи, где подвижной линией оказывается прямая или окружность. Приём один: отделить параметр и смотреть на число общих точек.
Полезное рядом
Проверим твой разбор случаев
Сфотографируй решение — Вникай покажет, какой случай параметра пропущен и где граница записана неверно.