Задание 2 ЕГЭ профиль: векторы, длина и скалярное произведение
Задание 2 проверяет действия с векторами по координатам: сложить, умножить на число, найти длину и скалярное произведение. Считается в две строки, а балл теряют на том, что путают длину с произведением.
Задание 2 ЕГЭ профиль — действия с векторами в координатах. Складывают и вычитают покоординатно, умножают на число каждую координату. Длина вектора — корень из суммы квадратов координат, то есть теорема Пифагора. Скалярное произведение — сумма произведений одноимённых координат, и результат всегда число, а не вектор. Сфотографируй свою запись, и Вникай сверит вычисления по шагам.
Метод по шагам
Запиши координаты
Вектор на плоскости — пара чисел: \vec{a}(x_a;\ y_a). Если вектор задан двумя точками, координаты считают вычитанием: из конца вычитают начало.
Сначала умножение, потом сложение
Умножение на число действует на каждую координату отдельно: 3\vec{b}(1;\ 4) = (3;\ 12). И только после этого складывают покоординатно: \vec{a} + 3\vec{b} = (x_a + 3x_b;\ y_a + 3y_b).
Длина — это Пифагор
Длина вектора \vec{c}(x;\ y) равна |\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}. Это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами x и y, поэтому длина никогда не бывает отрицательной.
Скалярное произведение даёт число
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b. Для \vec{a}(5;\ 4) и \vec{b}(8;\ -9) получается 5 \cdot 8 + 4 \cdot (-9) = 40 - 36 = 4. Вторая формула — через угол: |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha; она нужна, когда координат нет.
Разбор задания из демоверсии ФИПИ 2026
Условие
Даны векторы \vec{a}(2;\ 0) и \vec{b}(1;\ 4). Найдите длину вектора \vec{a} + 3\vec{b}.
Решение по шагам
- Умножаем \vec{b} на 3 — каждую координату отдельно: 3\vec{b} = (3 \cdot 1;\ 3 \cdot 4) = (3;\ 12).
- Складываем покоординатно: \vec{a} + 3\vec{b} = (2 + 3;\ 0 + 12) = (5;\ 12).
- Длина по теореме Пифагора: \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.
Ответ: 13
Условие — задание 2 демонстрационного варианта ЕГЭ-2026 ФИПИ. Ответ разбора совпадает с официальной таблицей ответов и проверен вручную.
Другие варианты задания 2 — с ответами
Те же действия, другие числа. Если твоё условие похоже на одно из этих — сверь ход решения, а не только ответ.
Три вектора: сложение и вычитание
Даны векторы \vec{a}(-3;\ 10), \vec{b}(4;\ 2) и \vec{c}(1;\ 2). Найдите длину вектора \vec{c} + \vec{b} - \vec{a}.
Складываем покоординатно, вычитание — это прибавление противоположного: (1 + 4 + 3;\ 2 + 2 - 10) = (8;\ -6). Длина \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100}.
Ответ: 10
Множители у обоих векторов
Даны векторы \vec{a}(1;\ 2) и \vec{b}(2;\ -1). Найдите длину вектора 8\vec{a} + 4\vec{b}.
Сначала умножение: 8\vec{a} = (8;\ 16), 4\vec{b} = (8;\ -4). Сумма (16;\ 12), длина \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400}.
Ответ: 20
Множитель у одного вектора
Даны векторы \vec{a}(5;\ 3) и \vec{b}(1;\ 4). Найдите длину вектора \vec{a} + 3\vec{b}.
3\vec{b} = (3;\ 12), сумма (8;\ 15). Длина \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}. Тройка относится только к \vec{b} — это место, где теряют балл.
Ответ: 17
Три вектора с коэффициентами
Даны векторы \vec{a}(7;\ -5), \vec{b}(-9;\ 5) и \vec{c}(25;\ -12). Найдите длину вектора 4\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c}.
4\vec{a} = (28;\ -20), 3\vec{b} = (-27;\ 15), их сумма (1;\ -5). Вычитаем \vec{c}: (-24;\ 7). Длина \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625}.
Ответ: 25
Скалярное произведение по координатам
Даны векторы \vec{a}(1;\ 3) и \vec{b}(-4;\ 2). Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}.
Перемножаем одноимённые координаты и складываем: 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 2 = -4 + 6. Ответ — число, а не вектор.
Ответ: 2
Произведение разности на вектор
Даны векторы \vec{a}(5;\ 7), \vec{b}(2;\ -9) и \vec{c}(-6;\ 2). Найдите значение выражения (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c}.
Сначала разность в скобках: \vec{a} - \vec{b} = (3;\ 16). Затем скалярно на \vec{c}: 3 \cdot (-6) + 16 \cdot 2 = -18 + 32.
Ответ: 14
Квадрат длины, а не длина
Даны векторы \vec{a}(2;\ 0) и \vec{b}(1;\ 4). Найдите квадрат длины вектора \vec{a} + \vec{b}.
\vec{a} + \vec{b} = (3;\ 4). Квадрат длины — это 3^2 + 4^2, корень извлекать не нужно: спрашивают именно квадрат.
Ответ: 25
Сумма координат
Даны векторы \vec{a}(1;\ 2) и \vec{b}(3;\ 4). Найдите сумму координат вектора \vec{c} = \vec{a} + \vec{b}.
\vec{c} = (4;\ 6), сумма координат 4 + 6. Это не длина: длина здесь была бы \sqrt{52} и в бланк не пошла бы.
Ответ: 10
Условия — формулировки, с которыми приходят из поиска: те же типы, что в открытом банке, с другими числами. Каждый ответ пересчитан независимо.
Где теряют балл
Длину считают вместо произведения
«Найдите скалярное произведение» — ответ число вроде 4. «Найдите длину» — ответ корень из суммы квадратов. Перечитай, что именно спрашивают: это разные величины.
Сложили до умножения
В \vec{a} + 3\vec{b} тройка относится только к \vec{b}. Сложение первым даёт (3;\ 4) и длину 5 вместо 13.
Потеряли знак координаты
У \vec{b}(8;\ -9) вторая координата отрицательна: 4 \cdot (-9) = -36. Со знаком плюс ответ станет 76 вместо 4.
Ответ не в той форме
В бланк идёт целое число или конечная десятичная дробь с запятой. Корень в ответе первой части означает, что где-то потеряно упрощение.
Частые вопросы
Как найти длину вектора по координатам?
Возведи обе координаты в квадрат, сложи и извлеки корень. Для вектора с координатами 5 и 12 это корень из 169, то есть 13.
Чем скалярное произведение отличается от длины?
Длина — характеристика одного вектора, всегда неотрицательная. Скалярное произведение считают для пары векторов, и оно бывает отрицательным: знак показывает, острый угол между ними или тупой.
Что значит, если скалярное произведение равно нулю?
Векторы перпендикулярны. Это частый способ проверки: если сумма произведений координат обнулилась, угол между векторами прямой.
Как проверить своё решение задания 2?
Сфотографируй запись и загрузи в Вникай в режиме «Проверь моё решение»: сервис пересчитает координаты заново и покажет, где потерян знак или порядок действий.
Полезное рядом
Проверь своё решение задания 2
Первая проверка с разбором — бесплатно и без регистрации. Вникай пересчитает координаты и сверит их с твоими.