Задание 12 ЕГЭ профиль: наибольшее и наименьшее значение функции
Алгоритм из четырёх шагов, который работает всегда, — и два места, где балл теряют уже после того, как производная найдена верно.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции в задании 12 ЕГЭ, возьмите производную, приравняйте её к нулю и найдите критические точки. Если задан отрезок, вычислите значения функции в подходящих критических точках и на обоих концах отрезка, а затем выберите нужное из чисел. Если отрезок не задан, определите знак производной слева и справа от критической точки: смена минуса на плюс даёт минимум, плюса на минус — максимум.
В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 (ФИПИ, обсуждение до 30 сентября 2026) это задание из экзамена убрано: наибольшего и наименьшего значения функции в нём больше нет, а под номером 12 идёт задание про графики функций. Разбор ниже — для ЕГЭ-2026; проект утвердят в первой половине ноября.
Метод по шагам
Найди производную
Произведение — по правилу (uv)' = u'v + uv'; частное — через формулу дроби; (e^{x})' = e^{x}, (\ln x)' = \frac{1}{x}. Область определения выписывай сразу: под логарифмом и корнем ограничения.
Приравняй к нулю
Экспонента и корень из положительного нулю не равны — значит нулю равен другой множитель. Это сокращает уравнение до простого.
Отбери точки из промежутка
Критические точки вне отрезка не рассматриваются вовсе. Если отрезка нет, смотрят знак производной по обе стороны от точки.
Сравни значения
Считай функцию в оставшихся критических точках и на концах отрезка, выпиши все числа столбиком и выбери наибольшее или наименьшее — то, что спрашивают.
Разбор типовой задачи: минимум функции с экспонентой
Условие
Найдите наименьшее значение функции y = (x - 7)\,e^{\,x-6} на отрезке [4;\ 8].
Решение по шагам
- Производная произведения: y' = 1 \cdot e^{\,x-6} + (x-7)\,e^{\,x-6}. Выносим общий множитель: y' = e^{\,x-6}(x - 6).
- Приравниваем к нулю: e^{\,x-6}(x-6) = 0. Экспонента положительна при любом x, поэтому x - 6 = 0, то есть x = 6.
- Точка x = 6 попадает в отрезок [4;\ 8] — её берём в расчёт.
- Определим характер точки: при x < 6 множитель (x-6) отрицателен, значит y' < 0 и функция убывает; при x > 6 производная положительна и функция возрастает. Значит x = 6 — точка минимума.
- Считаем значения на концах и в точке минимума. В точке минимума y(6) = (6-7)\,e^{0} = -1. На левом конце y(4) = -3e^{-2} \approx -0{,}406. На правом конце y(8) = e^{2} \approx 7{,}389.
- Наименьшее из трёх чисел — -1.
Ответ: Наименьшее значение равно -1
Ответ подтверждён численно: функция просканирована на отрезке [4; 8] с шагом 0,0001, и минимум составил −1,000000000 в точке x = 6.
Другие типы функций — с ответами
Ход один: производная, нули производной, значения на концах отрезка. Меняется только то, как берётся производная.
Многочлен на отрезке
Найдите наименьшее значение функции y = x^3 - 3x^2 на отрезке [1;\ 4].
y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2), нули — 0 и 2; на отрезке остаётся только x = 2. Считаем три значения: y(1) = -2, y(2) = 8 - 12, y(4) = 16. Концы отрезка проверять обязательно — минимум часто сидит там.
Ответ: -4
Экспонента через замену
Найдите наименьшее значение функции y = e^{2x} - 4e^{x} + 5.
Замена t = e^{x}, причём t > 0: получается парабола t^2 - 4t + 5 с вершиной в t = 2. Это значение достижимо (t > 0), подставляем: 4 - 8 + 5. Отрезка нет — и не нужен: у параболы ветви вверх, минимум один.
Ответ: 1
С логарифмом
Найдите наименьшее значение функции y = 5x - 5\ln(x + 5).
Область определения x > -5. y' = 5 - \dfrac{5}{x+5} = 0 при x + 5 = 1, то есть x = -4. Слева производная отрицательна, справа положительна — это минимум. y(-4) = -20 - 5\ln 1, а \ln 1 = 0.
Ответ: -20
Максимум на конце и внутри отрезка
Найдите наибольшее значение функции y = x^3 - 3x^2 на отрезке [-1;\ 1].
Та же производная, нули 0 и 2; на отрезке остаётся x = 0. Считаем: y(-1) = -4, y(0) = 0, y(1) = -2. Наибольшее — внутри отрезка. Важно: убери отрезок из условия — и наибольшего значения у этой функции не будет вовсе, она растёт неограниченно. Отрезок меняет не оформление, а сам ответ.
Ответ: 0
Три значения — на обоих концах и в каждом нуле производной, попавшем внутрь отрезка. Пропуск конца отрезка — самая частая потеря балла в этом номере.
Где теряют балл в задании 12
Записали точку вместо значения
Спрашивают наименьшее ЗНАЧЕНИЕ функции — это y, а не x. Ответ «6» вместо «−1» — самая частая потеря балла в этом номере.
Забыты концы отрезка
Наибольшее значение на отрезке нередко достигается именно на конце, а не в критической точке. Считать нужно все три числа.
Область определения не выписана
У функции с логарифмом или дробью часть отрезка может выпадать. Если критическая точка вне области определения, она не рассматривается.
Производная произведения как произведение производных
(uv)' \ne u'v'. Правило: производная первого на второй плюс первый на производную второго.
Частые вопросы
Что делать, если отрезок не задан?
Тогда ищут точку экстремума по смене знака производной и вычисляют значение функции в ней. В таких заданиях функция обычно имеет ровно один экстремум, и он и даёт ответ.
Нужно ли строить таблицу знаков?
Не обязательно, но она экономит время и ловит ошибки: достаточно отметить критические точки на прямой и подставить по одному пробному значению из каждого промежутка.
Какие производные надо знать наизусть?
Степенная, экспонента, логарифм, синус и косинус, а также правила суммы, произведения, частного и сложной функции. Справочных материалов на экзамене не выдают.
Полезное рядом
Проверим твоё решение по критериям
Сфотографируй запись — Вникай разберёт ход и покажет, где теряется балл.