Задание 15 ЕГЭ профиль: логарифмическое неравенство
Неравенство второй части на 2 балла: логарифмы, показательные функции, дробь с переменной в знаменателе. Решают около 19% — почти все потери на ОДЗ и выколотых точках, а не на самом методе.
Чтобы решить задание 15 ЕГЭ по профильной математике: сначала запиши ОДЗ (аргументы логарифмов больше нуля, знаменатель не нуль), затем упрости выражение — часто знаменатель сворачивается в полный квадрат и не влияет на знак, — реши получившееся неравенство по монотонности логарифма или методом рационализации и пересеки ответ с ОДЗ, выколов запрещённые точки. Проверить запись по критериям можно по фото на Вникай.
В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 (ФИПИ, обсуждение до 30 сентября 2026) это неравенство идёт под номером 16. Первая часть стала длиннее на один номер: добавилось задание 6 про случайные величины и переехала экономическая задача, а задание про наибольшее и наименьшее значение убрали. Метод и критерии не изменились.
Метод по шагам
ОДЗ первым делом
Все аргументы логарифмов > 0, знаменатель \ne 0, подкоренные выражения \ge 0. Запиши систему и реши её отдельно — эксперт ищет именно эту строку.
Упрости знаменатель
Ищи полный квадрат: \log_2^2(x^2) + 2\log_2(x^2) + 1 = (\log_2(x^2) + 1)^2. Квадрат неотрицателен, значит знак дроби задаёт числитель, а нули квадрата надо выколоть.
Монотонность или рационализация
При основании больше 1 знак между логарифмами переходит на аргументы: \log_2 a \ge \log_2 b означает a \ge b на ОДЗ. Для сложных случаев — метод рационализации: \log_a f - \log_a g имеет знак (a - 1)(f - g).
Пересечение с ОДЗ
Нанеси на прямую ответ неравенства и все выколотые точки. Точка -\frac{\sqrt{2}}{2} лежит внутри промежутка — её обязательно исключить, это и есть «ловушка на 1 балл» из критериев.
Разбор задания из демоверсии ФИПИ 2026
Условие
Решите неравенство \dfrac{\log_2(2 - x) - \log_2(x + 1)}{\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1} \ge 0.
Решение по шагам
- ОДЗ: 2 - x > 0, x + 1 > 0, x^2 > 0 — то есть -1 < x < 2 и x \ne 0.
- Знаменатель: \log_2 x^4 = 2\log_2 x^2, поэтому он равен (\log_2 x^2)^2 + 2\log_2 x^2 + 1 = (\log_2 x^2 + 1)^2.
- Квадрат не может быть нулём: \log_2 x^2 \ne -1, x^2 \ne \frac{1}{2}, x \ne \pm\frac{\sqrt{2}}{2}. При остальных допустимых x знаменатель положителен.
- Значит, знак дроби определяет числитель: \log_2(2 - x) - \log_2(x + 1) \ge 0, то есть \log_2(2 - x) \ge \log_2(x + 1).
- Основание 2 > 1, логарифм возрастает: 2 - x \ge x + 1, откуда x \le \frac{1}{2}.
- Пересекаем с ОДЗ: -1 < x \le \frac{1}{2}, выкалываем x = 0 и x = -\frac{\sqrt{2}}{2} (точка \frac{\sqrt{2}}{2} > \frac{1}{2} в промежуток не входит).
- Ответ: \left(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right); \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right); \left(0; \frac{1}{2}\right].
Ответ: \left(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right]
Условие — задание 15 демонстрационного варианта ЕГЭ-2026 ФИПИ. Ответ разбора совпадает с официальным ответом ФИПИ и проверен вручную.
Критерии оценивания и где теряют баллы
2 балла
Обоснованно получен верный ответ: ОДЗ записана, преобразования объяснены, выколотые точки исключены.
1 балл
Ответ отличается от верного только исключением точки \frac{1}{2} — или есть вычислительная ошибка при верной последовательности шагов.
0 баллов
Потерянная ОДЗ, деление на знаменатель без анализа его знака, не выколотая точка -\frac{\sqrt{2}}{2} внутри ответа.
Ловушка со степенью
\log_2 x^2 = 2\log_2|x|, а не 2\log_2 x: отрицательные x входят в ОДЗ. Проще не раскрывать степень, а работать с x^2.
Выколотые точки
Три штуки: 0 из ОДЗ и \pm\frac{\sqrt{2}}{2} из нуля знаменателя. Проверь каждую на попадание в ответ.
Проверка на Вникай
Сфотографируй решение в режиме «Проверь моё решение» — сервис сверит ОДЗ, знак знаменателя и итоговые промежутки с эталоном.
Частые вопросы
Сколько баллов даёт задание 15 ЕГЭ по профильной математике?
Максимум 2 первичных балла. 1 балл ставят за верный ход с вычислительной ошибкой или за ответ, отличающийся от верного одной точкой, например включённой или исключённой границей.
С чего начинать логарифмическое неравенство?
С ОДЗ: аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю. Потом упрощай выражение — в демоверсии знаменатель оказывается полным квадратом и на знак не влияет.
Что такое метод рационализации?
Замена выражения выражением того же знака: \log_a f - \log_a g имеет тот же знак, что и (a - 1)(f - g) на ОДЗ. Работает и для показательных выражений.
Как проверить своё решение задания 15?
Загрузи фото записи на Вникай в режиме «Проверь моё решение»: сервис решит неравенство заново, сравнит ОДЗ и промежутки с твоими и скажет, за что снимут балл.
Полезное рядом
Проверь своё решение задания 15
Первая проверка с разбором — бесплатно и без регистрации. Сфотографируй запись, и Вникай сверит ОДЗ и промежутки с эталоном.