Метод контурных токов: разбор с примером
Метод сокращает систему уравнений вдвое: вместо шести токов ветвей считают два контурных. Разбираем цепь с двумя источниками по шагам и проверяем ответ балансом мощности.
Чтобы решить цепь методом контурных токов, выберите независимые контуры — их столько, сколько ветвей минус число узлов плюс один, и задайте в каждом свой контурный ток, обычно по часовой стрелке. Для каждого контура запишите уравнение: контурный ток, умноженный на сумму сопротивлений своего контура, минус соседние контурные токи, умноженные на общие с ними сопротивления, равно сумме ЭДС контура. Решив систему, найдите токи ветвей: в ветви, принадлежащей одному контуру, ток равен контурному, в общей ветви — сумме или разности контурных токов в зависимости от их направлений. Ответ проверяют балансом мощности.
Метод по шагам
Посчитай независимые контуры
Их число равно p = в - у + 1, где в — количество ветвей, у — узлов. Три ветви и два узла дают 3 - 2 + 1 = 2 контура — столько и будет уравнений.
Задай направления обхода
Проще всего все контуры обходить по часовой стрелке: тогда общее сопротивление соседних контуров всегда входит в уравнение со знаком минус, и ошибиться в знаке труднее.
Запиши уравнения
Для контура: R_{11} I_{11} - R_{12} I_{22} = E_{11}, где R_{11} — сумма сопротивлений контура, R_{12} — общее с соседом сопротивление, E_{11} — алгебраическая сумма ЭДС. ЭДС берётся со знаком плюс, если её направление совпадает с обходом.
Найди токи ветвей
В «своей» ветви ток равен контурному. В общей — сумме или разности: складывай, если контурные токи текут по ней одинаково, вычитай, если навстречу.
Проверь балансом мощности
\sum E I источников обязано совпасть с \sum I^2 R приёмников. Не сошлось — ошибка в знаках, и её надо искать до сдачи, а не после.
Пример: цепь с двумя источниками и общей ветвью
Условие
В цепи две ветви с источниками и одна общая. Ветвь 1: E_1 = 80 В и R_1 = 10 Ом. Ветвь 2: E_2 = 90 В и R_2 = 20 Ом. Общая ветвь: R_3 = 10 Ом. Найди токи всех ветвей методом контурных токов и проверь решение балансом мощности.
Решение по шагам
- Число независимых контуров: ветвей 3, узлов 2, значит p = 3 - 2 + 1 = 2. Задаём контурные токи I_{11} и I_{22}, оба обходим по часовой стрелке.
- Собственные сопротивления контуров: R_{11} = R_1 + R_3 = 10 + 10 = 20 Ом, R_{22} = R_2 + R_3 = 20 + 10 = 30 Ом. Общее сопротивление R_{12} = R_3 = 10 Ом.
- Контурные ЭДС: в первом контуре E_1 совпадает с обходом, поэтому E_{11} = +80 В; во втором E_2 направлена против обхода, поэтому E_{22} = -90 В.
- Система уравнений:20 I_{11} - 10 I_{22} = 80-10 I_{11} + 30 I_{22} = -90
- Из первого уравнения I_{11} = 4 + 0{,}5 I_{22}. Подставляем во второе: -40 - 5 I_{22} + 30 I_{22} = -90, то есть 25 I_{22} = -50 и I_{22} = -2 А.
- Тогда I_{11} = 4 + 0{,}5 \cdot (-2) = 3 А. Минус у I_{22} означает только одно: реальное направление тока второго контура противоположно выбранному, пересчитывать ничего не нужно.
- Токи ветвей: I_1 = I_{11} = 3 А; I_2 = |I_{22}| = 2 А; в общей ветви I_3 = I_{11} - I_{22} = 3 - (-2) = 5 А.
- Проверка первым законом Кирхгофа: в узел приходят 3 А и 2 А, уходят 5 А — сходится.
- Баланс мощности. Источники: E_1 I_1 + E_2 I_2 = 80 \cdot 3 + 90 \cdot 2 = 420 Вт. Приёмники: I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 + I_3^2 R_3 = 9 \cdot 10 + 4 \cdot 20 + 25 \cdot 10 = 90 + 80 + 250 = 420 Вт.
- Обе суммы равны — решение верно.
Ответ: I_1 = 3 А, I_2 = 2 А, I_3 = 5 А; баланс мощности: 420 Вт у источников и 420 Вт у приёмников.
Числа проверены независимым расчётом: система решена по правилу Крамера, а токи дополнительно пересчитаны через напряжение между узлами по закону Ома — расхождений нет.
Сколько контуров и сколько уравнений — разбор на числах
Первый шаг метода решают неверно чаще, чем саму систему: берут контуров больше, чем нужно, и получают лишние уравнения. Считается это одной формулой: p = в - у + 1.
Три ЭДС в трёх параллельных ветвях
Три ветви соединяют одну и ту же пару узлов, в каждой свой источник ЭДС. Сколько независимых контуров и уравнений?
Ветвей в = 3, узлов у = 2: 3 - 2 + 1. Три источника не означают трёх уравнений — число контуров зависит только от того, сколько ветвей и узлов, а не сколько в них ЭДС.
Ответ: 2
Мостовая схема
Мост: четыре плеча и диагональ с гальванометром, питание по второй диагонали. Шесть ветвей, четыре узла. Сколько независимых контуров?
6 - 4 + 1. Это тот случай, где метод контурных токов выгоднее узловых потенциалов: узлов минус один тоже даёт три, но уравнения с проводимостями здесь громоздче.
Ответ: 3
Две ветви с источниками и общая
Схема из разбора выше: две ветви с источниками и одна общая. Сколько уравнений придётся решать?
Ветвей в = 3, узлов у = 2: 3 - 2 + 1. Столько же, сколько контурных токов, — система из двух уравнений.
Ответ: 2
Лестничная схема из четырёх ячеек
Восемь ветвей и пять узлов. Сколько независимых контуров?
8 - 5 + 1. Проверка глазами: у плоской схемы число независимых контуров равно числу «ячеек» — областей, внутри которых нет других ветвей. Посчитай ячейки и сверь с формулой.
Ответ: 4
Формулу иногда запоминают наоборот — «узлы минус ветви». Проверка простая: контуров не может быть меньше одного, а «узлы минус ветви» даёт отрицательное число.
Где чаще всего ошибаются
Минус у общего сопротивления
Если оба контура обходятся по часовой стрелке, взаимное сопротивление ВСЕГДА входит со знаком минус: по общей ветви контурные токи идут навстречу друг другу.
Отрицательный ток «исправляют»
Отрицательный контурный ток — нормальный результат: он говорит, что направление выбрано наоборот. Менять знаки в уравнениях и решать заново не нужно.
Знак ЭДС
ЭДС берётся с плюсом, если её стрелка совпадает с направлением обхода контура, и с минусом, если направлена против. Это не зависит от того, куда потечёт ток.
Ток общей ветви
I_3 — это сумма или разность контурных токов, а не один из них. Знак определяется тем, как контурные токи проходят общую ветвь.
Баланс не проверяют
Проверка занимает минуту и ловит любую ошибку в знаках. Совпали мощности источников и приёмников — решение верно с точностью до арифметики.
Частые вопросы
Когда метод контурных токов выгоднее узловых потенциалов?
Когда контуров меньше, чем узлов без единицы. Для цепи с тремя ветвями и двумя узлами оба метода дают систему из двух и одного уравнения соответственно, поэтому там быстрее узловые потенциалы. Чем больше параллельных ветвей, тем выгоднее узловой метод, чем длиннее последовательные цепочки — контурный.
Что делать, если в цепи есть источник тока?
Ветвь с идеальным источником тока задаёт контурный ток напрямую: он равен току источника, и уравнение для этого контура не составляется. Число неизвестных сразу уменьшается на единицу.
Как выбрать независимые контуры?
Каждый следующий контур должен содержать хотя бы одну ветвь, не вошедшую в предыдущие. Удобно брать «ячейки» плоской схемы — области, внутри которых нет других ветвей: их ровно столько, сколько нужно.
Можно ли обходить контуры в разные стороны?
Можно, но тогда знак взаимного сопротивления придётся определять каждый раз отдельно. Единый обход по часовой стрелке — то же решение с меньшим числом поводов ошибиться.
Полезное рядом
Проверим твой расчёт цепи
Сфотографируй схему с номиналами — Вникай составит уравнения, решит систему и проверит ответ балансом мощности.