Задание 7 ЕГЭ профиль: вычисления и преобразования выражений
Задание 7 — значение выражения: тригонометрия, логарифмы или степени. Всё решается одной формулой, но её надо узнать в записи. Разбираем три типа, которые встречаются чаще всего.
Задание 7 ЕГЭ профиль — вычислить значение выражения. Три частых типа: тригонометрия через формулу двойного угла и приведение угла к первому обороту, логарифмы через переход к новому основанию, степени через сложение показателей при умножении. Ответ всегда получается коротким числом — если вышло громоздкое выражение, формула выбрана не та. Вникай сверит твою запись по фото.
В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 (ФИПИ, обсуждение до 30 сентября 2026) это задание идёт под номером 8: в первой части появилось новое задание 6 — случайная величина, математическое ожидание и дисперсия. Тема и метод прежние.
Метод по шагам
Тригонометрия: ищи двойной угол
Произведение синуса на косинус одного и того же угла сворачивается: \sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha. Это первое, что проверяют, увидев в задании такое произведение.
Убери лишние обороты
Синус и косинус повторяются через 2\pi. Угол \frac{13\pi}{6} — это 2\pi + \frac{\pi}{6}, поэтому синус от него равен синусу \frac{\pi}{6}, то есть \frac{1}{2}.
Логарифмы: одно основание
Отношение логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм с новым основанием: \dfrac{\log_7 32}{\log_7 2} = \log_2 32 = 5, потому что 2^5 = 32.
Степени: складывай показатели
Приведи всё к одному основанию и сложи показатели. В 25^{2\sqrt{8}+3} \cdot 5^{-3-4\sqrt{8}} первый множитель равен 5^{4\sqrt{8}+6}, корни взаимно уничтожаются, остаётся 5^3 = 125.
Разбор задания из демоверсии ФИПИ 2026
Условие
Найдите значение выражения 3\sin\dfrac{13\pi}{12} \cdot \cos\dfrac{13\pi}{12}.
Решение по шагам
- Узнаём формулу двойного угла: \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, значит \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha.
- Подставляем \alpha = \frac{13\pi}{12}: выражение равно 3 \cdot \frac{1}{2}\sin\frac{13\pi}{6} = \frac{3}{2}\sin\frac{13\pi}{6}.
- Убираем полный оборот: \frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}, поэтому \sin\frac{13\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.
- Считаем: \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0{,}75.
Ответ: 0{,}75
Условие — задание 7 демонстрационного варианта ЕГЭ-2026 ФИПИ. Ответ разбора совпадает с официальной таблицей ответов и проверен вручную.
Приёмы, которые закрывают большинство вариантов
В задании 7 считать почти не надо — надо узнать приём. Вот четыре, которые встречаются чаще всего.
Логарифмы взаимно уничтожаются
Найдите значение выражения 7^{\,\log_7 5}.
Основное логарифмическое тождество: a^{\log_a b} = b. Степень и логарифм по одному основанию гасят друг друга, и остаётся то, что под логарифмом. Считать нечего.
Ответ: 5
Разность логарифмов с одним основанием
Найдите значение выражения \log_3 45 - \log_3 5.
Разность логарифмов — это логарифм частного: \log_3 \dfrac{45}{5} = \log_3 9. А 9 = 3^2, значит логарифм равен показателю степени.
Ответ: 2
Показательное через известную степень
Известно, что 5^{\,x} = 3. Найдите 5^{\,2x}.
5^{2x} = \left(5^{x}\right)^{2} — то же основание, показатель вдвое больше, значит всё выражение возводится в квадрат: 3^2. Само x находить не нужно и не получится в целых числах.
Ответ: 9
Формула двойного угла
Найдите значение выражения 6\cos^2\alpha - 3, если \cos 2\alpha = 0{,}4.
Выносим тройку: 3\left(2\cos^2\alpha - 1\right). В скобках стоит в точности \cos 2\alpha, то есть всё выражение равно 3\cos 2\alpha = 3 \cdot 0{,}4. Угол \alpha искать не нужно.
Ответ: 1{,}2
Общее правило номера: если появилось желание найти сам x или сам угол — скорее всего, приём не узнан. В задании 7 неизвестное почти всегда сокращается.
Где теряют балл
Забыли половину в двойном угле
\sin\alpha\cos\alpha равно половине \sin 2\alpha, а не самому \sin 2\alpha. Без множителя ответ удваивается: 1{,}5 вместо 0{,}75.
Умножили угол не на то
Двойной угол от \frac{13\pi}{12} — это \frac{13\pi}{6}, а не \frac{26\pi}{12}, оставленное несокращённым: с ним сложнее увидеть лишний оборот.
Перепутали основание логарифма
В \dfrac{\log_7 32}{\log_7 2} новое основание — это то, что стоит в знаменателе: получается \log_2 32, а не \log_{32} 2.
Оставили корень в ответе
В первой части ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Корень в ответе значит, что показатели степеней не свернулись до конца.
Частые вопросы
Какие формулы нужны для задания 7 ЕГЭ профиль?
Формулы двойного угла, приведения и периодичности для тригонометрии; переход к новому основанию и основное логарифмическое тождество для логарифмов; свойства степеней с одинаковым основанием.
Как убрать большой угол в тригонометрии?
Вычесть целое число оборотов по 2π. Синус и косинус от этого не меняются, поэтому синус 13π/6 равен синусу π/6.
Как считать отношение логарифмов?
Отношение логарифмов с общим основанием равно логарифму, у которого основание — аргумент знаменателя. Дальше вопрос простой: в какую степень возвести основание.
Как проверить своё решение задания 7?
Загрузи фото записи в Вникай в режиме «Проверь моё решение»: сервис посчитает выражение заново и покажет, на каком шаге потерян множитель.
Полезное рядом
Проверь своё решение задания 7
Первая проверка с разбором — бесплатно и без регистрации. Вникай посчитает выражение независимо и сверит с твоим ответом.