Задание 19 ЕГЭ профиль: теория чисел из трёх пунктов
Четыре балла, из которых два первых берутся почти без теории: в пунктах а и б достаточно привести пример и объяснить, почему второго не бывает.
Задание 19 ЕГЭ по профильной математике почти всегда состоит из трёх пунктов, и отвечают они на разные вопросы. Пункт а просит пример — его достаточно предъявить и проверить, доказывать ничего не нужно. Пункт б обычно требует показать, что примера нет: здесь работает оценка, то есть сравнение двух величин, которые не могут совпасть. Пункт в спрашивает наибольшее или наименьшее значение, и полный ответ состоит из двух частей — оценки сверху и примера, на котором она достигается. Пункты оцениваются отдельно, поэтому браться стоит даже за один из них.
В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 (ФИПИ, обсуждение до 30 сентября 2026) задача про числа и их свойства идёт под номером 20. Первая часть стала длиннее на один номер: добавилось задание 6 про случайные величины и переехала экономическая задача, а задание про наибольшее и наименьшее значение убрали. Метод и критерии не изменились.
Метод по шагам
Пункт а: покажи пример
Ответ «да» доказывается одним числом. Найди его подбором и обязательно проверь подстановкой прямо в решении.
Пункт б: оцени величины
Ответ «нет» доказывается тем, что одна величина всегда больше другой. У суммы цифр d-значного числа потолок 9d — этой оценки хватает в половине задач номера.
Пункт в: две половины ответа
Отдельно докажи, что больше быть не может, и отдельно предъяви число, на котором максимум достигается. Без любой из половин пункт не засчитан.
Сузь перебор
Признаки делимости и остатки сокращают перебор до десятка вариантов. Их можно честно выписать в решении — это законный способ рассуждения.
Разбор типовой задачи: число и сумма его цифр
Условие
Обозначим через S(n) сумму цифр натурального числа n.
а) Существует ли трёхзначное число n, для которого n = 13\,S(n)?
б) Существует ли четырёхзначное число n, для которого n = 13\,S(n)?
в) Какое наибольшее натуральное число n удовлетворяет равенству n = 13\,S(n)?
Решение по шагам
- Пункт а. Подберём число: у n = 117 сумма цифр равна 1 + 1 + 7 = 9, и 13 \cdot 9 = 117. Пример есть, ответ «да».
- Пункт б. Оценим сумму цифр четырёхзначного числа: цифр четыре, каждая не больше 9, поэтому S(n) \le 36.
- Тогда 13\,S(n) \le 13 \cdot 36 = 468, а само четырёхзначное число не меньше 1000. Равенство невозможно, ответ «нет».
- Пункт в. Та же оценка работает для любого числа с четырьмя и более цифрами, поэтому искать нужно среди трёхзначных и меньших.
- Для трёхзначного числа S(n) \le 27, значит n = 13\,S(n) \le 13 \cdot 27 = 351.
- Сумма цифр не превосходит 27, а n равно её тринадцатикратному — значит достаточно перебрать S = 1, 2, \ldots, 27 и проверить, у каких чисел 13S сумма цифр совпала с самим S.
- Совпадение даёт три числа: 117 при S = 9, 156 при S = 12 и 195 при S = 15.
- Наибольшее из них — 195, и проверка сходится: 1 + 9 + 5 = 15 и 13 \cdot 15 = 195.
Ответ: а) да, например n = 117; б) нет; в) n = 195
Ответ подтверждён прямым перебором до миллиона: равенству n = 13\,S(n) удовлетворяют ровно три числа — 117, 156 и 195, четырёхзначных среди них нет.
Где теряют баллы в задании 19
В пункте в доказана только оценка
Написать «больше 195 быть не может» и остановиться — это половина пункта. Нужен ещё сам пример числа 195 с проверкой.
Пример не проверен
Число названо, но подстановка не показана. Эксперт не обязан считать за выпускника, и пункт остаётся без балла.
Перебор без объяснения границ
Список вариантов принимается, только если сказано, почему других нет. Оценка S(n) \le 9d — самое короткое такое объяснение.
Брошены пункты а и б
Пункты оцениваются отдельно. Приведённый пример и оценка сверху — это уже баллы, даже если пункт в не сделан.
Частые вопросы
Нужно ли знать теорию чисел для задания 19?
Школьного курса хватает: признаки делимости, остатки, свойства суммы цифр. Ни сравнений по модулю в общем виде, ни олимпиадных теорем задание не требует.
Можно ли решать перебором?
Да, если перебор конечен и объяснено, почему. Фраза «остальные варианты отпадают по оценке» превращает перебор в полноценное доказательство.
Сколько баллов даёт задание 19?
Четыре: по баллу за пункты а и б и два за пункт в. Это самый доступный из дорогих номеров — пункт а часто решается за пару минут.
Полезное рядом
Проверим, все ли пункты закрыты
Пришли своё решение — Вникай скажет, какой пункт остался без доказательства и где не хватает примера.