Задание 14 ЕГЭ профиль: стереометрия с доказательством
Три балла: пункт а — доказательство, пункт б — вычисление. Пункт а дают за строгую логику, и его берут даже те, кто не дошёл до ответа.
Чтобы решить задание 14 ЕГЭ по профильной математике, разделите работу на два независимых пункта. В пункте а требуется доказательство: ссылайтесь на признаки параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, называя теорему по формулировке. В пункте б удобны два пути: координатный метод, где углы и расстояния считаются через векторы, и классический, где строится линейный угол двугранного угла. Баллы за пункты ставят отдельно, поэтому доказательство пишут даже при незаконченном вычислении.
В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 (ФИПИ, обсуждение до 30 сентября 2026) стереометрия второй части идёт под номером 15. Первая часть стала длиннее на один номер: добавилось задание 6 про случайные величины и переехала экономическая задача, а задание про наибольшее и наименьшее значение убрали. Метод и критерии не изменились.
Метод по шагам
Начерти и введи координаты
Для куба и прямоугольного параллелепипеда координаты ставят в вершину: оси вдоль рёбер. Это превращает стереометрию в арифметику.
Пункт а — только логика
Ссылка на теорему обязана быть полной: «признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости». Без формулировки балл снимают.
Пункт б — выбери метод
Угол между плоскостями — через нормали: \cos\varphi = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}. Классический путь — построить линейный угол и найти его тангенс.
Ответ доведи до числа
Если угол не табличный, ответ записывают через арктангенс или арккосинус — это полноценный ответ, приближение в градусах не требуется.
Разбор типовой задачи: сечение куба
Условие
В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром 4 проведено сечение через вершины A, B_1 и C.
а) Докажите, что треугольник AB_1C равносторонний.
б) Найдите угол между плоскостью AB_1C и плоскостью основания ABC.
Решение по шагам
- Пункт а. Отрезки AB_1, B_1C и AC — диагонали граней куба: AB_1 лежит в грани ABB_1A_1, B_1C — в грани BCC_1B_1, AC — в основании.
- Все грани куба — равные квадраты со стороной 4, а диагональ квадрата равна стороне, умноженной на \sqrt{2}. Значит AB_1 = B_1C = AC = 4\sqrt{2}.
- Три стороны треугольника равны, следовательно \triangle AB_1C равносторонний. Пункт а доказан.
- Пункт б. Плоскости AB_1C и ABC пересекаются по прямой AC. Возьмём O — середину AC.
- В равностороннем треугольнике AB_1C отрезок B_1O — медиана, а значит и высота: B_1O \perp AC. В квадрате основания BO — половина диагонали, и BO \perp AC.
- Обе прямые перпендикулярны AC в одной точке, поэтому угол B_1OB — линейный угол искомого двугранного угла.
- Считаем его: BO = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}, а BB_1 = 4 — ребро куба, перпендикулярное основанию.
- Тангенс угла: \operatorname{tg}\angle B_1OB = \frac{BB_1}{BO} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}.
- Итог: искомый угол равен \operatorname{arctg}\sqrt{2} \approx 54{,}74^\circ.
Ответ: а) стороны равны 4\sqrt{2}, треугольник равносторонний; б) \operatorname{arctg}\sqrt{2} \approx 54{,}74^\circ
Угол подтверждён координатным методом: по нормалям плоскостей AB_1C и ABC он равен 54,735610°, тангенс — 1,414214, то есть ровно корень из двух.
Как берут баллы в задании 14
Пункт а оценивается отдельно
За доказательство дают 1 балл независимо от того, решён ли пункт б. Писать его нужно всегда, даже если вычисление не пошло.
Линейный угол надо обосновать
Мало провести два отрезка — нужно доказать, что оба перпендикулярны линии пересечения плоскостей. Без этого угол посчитан «не тот».
Координатный метод тоже требует слов
Введённую систему координат описывают: где начало, куда направлены оси, какие координаты у вершин. Голые вычисления без этого не засчитывают.
Арктангенс — нормальный ответ
Не всякий угол табличный. \operatorname{arctg}\sqrt{2} — законченный ответ, переводить в градусы и округлять не требуется.
Частые вопросы
Какой метод выбрать: координатный или классический?
Координатный надёжнее в кубе, прямоугольном параллелепипеде и правильной призме — там оси ставятся вдоль рёбер. Классический короче, когда фигура симметрична и линейный угол виден сразу, как в разобранном примере.
Сколько баллов дают за задание 14?
Три: один за доказательство в пункте а и два за верно полученный ответ в пункте б с обоснованием. Частичные баллы за начатое решение пункта б не ставят, поэтому пункт а — самый дешёвый балл второй части.
Нужен ли чертёж?
Да, и он должен быть читаемым: невидимые рёбра пунктиром, все обозначения из решения отмечены. По неверному чертежу эксперт не сможет проследить ход и снизит балл.
Полезное рядом
Проверим твоё решение по критериям
Сфотографируй запись целиком — Вникай разберёт оба пункта и покажет, где теряется балл.