Задание 13 ЕГЭ профиль: тригонометрическое уравнение с отбором корней
Первое задание второй части: 2 балла за уравнение и корни на отрезке. Решают около 43% выпускников, и половина потерь — не в уравнении, а в отборе корней и оформлении.
Чтобы решить задание 13 ЕГЭ по профильной математике: приведи уравнение к одной функции и разложи на множители (не дели на выражение с переменной), запиши все серии корней, а в пункте б отбери корни на отрезке по числовой окружности или перебором k — и выпиши каждый найденный корень явно. Проверить свою запись по критериям можно на Вникай: сфотографируй решение, и сервис покажет, где потеряется балл.
В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 (ФИПИ, обсуждение до 30 сентября 2026) тригонометрическое уравнение идёт под номером 14. Первая часть стала длиннее на один номер: добавилось задание 6 про случайные величины и переехала экономическая задача, а задание про наибольшее и наименьшее значение убрали. Метод и критерии не изменились.
Метод по шагам
Одна функция
Через основное тождество \sin^2 x + \cos^2 x = 1 сведи всё к синусу или косинусу либо вынеси общий множитель. Делить на \cos x или \sin x нельзя, пока не доказано, что они не нули.
Разложение на множители
Цель — произведение, равное нулю: каждый множитель даёт свою серию корней. Квадратные уравнения относительно \sin x решай заменой t = \sin x, помня |t| \le 1.
Серии корней
Запиши каждую серию с целым параметром: x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}. Две серии от \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} — это две разные записи, обе нужны.
Отбор на отрезке
Числовая окружность или перебор k: подставляй целые k, пока корень не выйдет за отрезок, проверяй концы. Переведи отрезок в доли \pi: [-4\pi; -2{,}5\pi] — так сравнивать проще.
Разбор задания из демоверсии ФИПИ 2026
Условие
а) Решите уравнение 2\sin^3 x = \sqrt{2}\cos^2 x + 2\sin x.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right].
Решение по шагам
- Перенесём всё в левую часть и сгруппируем: 2\sin^3 x - 2\sin x - \sqrt{2}\cos^2 x = 0, то есть 2\sin x(\sin^2 x - 1) - \sqrt{2}\cos^2 x = 0.
- По основному тождеству \sin^2 x - 1 = -\cos^2 x, поэтому -2\sin x\cos^2 x - \sqrt{2}\cos^2 x = 0 и \cos^2 x\,(2\sin x + \sqrt{2}) = 0.
- Произведение равно нулю: \cos x = 0 или \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
- Серии корней: x = \frac{\pi}{2} + \pi k; x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n; x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, где k, n, m \in \mathbb{Z}. Это ответ пункта а.
- Отбор на [-4\pi; -2{,}5\pi]. Серия \frac{\pi}{2} + \pi k: при k = -4 получаем -\frac{7\pi}{2} = -3{,}5\pi — подходит; при k = -3 получаем -\frac{5\pi}{2} — правый конец, входит. При других k корни вне отрезка.
- Серия -\frac{\pi}{4} + 2\pi n: n = -1 даёт -\frac{9\pi}{4} = -2{,}25\pi (правее отрезка), n = -2 даёт -\frac{17\pi}{4} = -4{,}25\pi (левее). Корней нет.
- Серия -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m: m = -1 даёт -\frac{11\pi}{4} = -2{,}75\pi — подходит; m = -2 даёт -\frac{19\pi}{4} — левее отрезка.
- Итог пункта б: -\frac{7\pi}{2}; -\frac{11\pi}{4}; -\frac{5\pi}{2}.
Ответ: а) \frac{\pi}{2} + \pi k, -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, k, n, m \in \mathbb{Z}; б) -\frac{7\pi}{2}; -\frac{11\pi}{4}; -\frac{5\pi}{2}.
Условие — задание 13 демонстрационного варианта ЕГЭ-2026 ФИПИ. Ответ разбора совпадает с официальным ответом ФИПИ и проверен вручную.
Отбор корней на отрезке — разобранные серии
Пункт б) отдельно от уравнения: серия уже найдена, осталось выбрать корни из отрезка. Способ один — подставлять целые k подряд.
Серия π/4 + π/2·k, отрезок [−7π/2; −2π]
Дана серия корней x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k, k \in \mathbb{Z}. Укажите корни, принадлежащие отрезку \left[-\frac{7\pi}{2};\ -2\pi\right].
Подставляем в неравенство и делим на \pi: -\frac{7}{2} \le \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \le -2, отсюда -7{,}5 \le k \le -4{,}5. Целые k: -7, -6, -5. Конец отрезка -\frac{7\pi}{2} в ответ не входит — он не принадлежит серии.
Ответ: -\frac{13\pi}{4}; -\frac{11\pi}{4}; -\frac{9\pi}{4}
Та же серия, отрезок [5π/2; 4π]
Дана серия корней x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k, k \in \mathbb{Z}. Укажите корни, принадлежащие отрезку \left[\frac{5\pi}{2};\ 4\pi\right].
\frac{5}{2} \le \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \le 4, то есть 4{,}5 \le k \le 7{,}5. Целые k: 5, 6, 7.
Ответ: \frac{11\pi}{4}; \frac{13\pi}{4}; \frac{15\pi}{4}
Серия 3π/4 + 2πk, отрезок [−4π; −5π/2]
Дана серия корней x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}. Укажите корни, принадлежащие отрезку \left[-4\pi;\ -\frac{5\pi}{2}\right].
Шаг серии 2\pi — на отрезок длиной \frac{3\pi}{2} попадёт не больше одного корня. Неравенство -4 \le \frac{3}{4} + 2k \le -2{,}5 даёт -2{,}375 \le k \le -1{,}625, то есть единственное k = -2.
Ответ: -\frac{13\pi}{4}
Отрезок с половинными концами
Дана серия корней x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k, k \in \mathbb{Z}. Укажите корни, принадлежащие отрезку \left[-\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}\right].
-\frac{3}{2} \le \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \le -\frac{1}{2}, значит -3{,}5 \le k \le -1{,}5. Целые k: -3, -2.
Ответ: -\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}
Отрезок, переходящий через ноль
Дана серия корней x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k, k \in \mathbb{Z}. Укажите корни, принадлежащие отрезку \left[-\pi;\ \frac{\pi}{2}\right].
-1 \le \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \le \frac{1}{2}, отсюда -2{,}5 \le k \le 0{,}5. Целые k: -2, -1, 0. Ноль пропускать нельзя — это тоже целое k.
Ответ: -\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}
Входит ли конец отрезка в ответ, проверяется так же: подставь его вместо x и посмотри, выходит ли целое k. Не вышло — корень не из этой серии, и в ответ он не идёт.
Критерии оценивания и где теряют баллы
2 балла
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: и уравнение, и отбор.
1 балл
Верно решено только уравнение (пункт а) — или в обоих пунктах есть верная последовательность шагов, но ответ неверный из-за вычислительной ошибки.
0 баллов
Деление на \cos x без проверки, потерянная серия корней, отбор без обоснования («по рисунку видно») — это не ошибка вычислений, а неверный ход.
Типичная потеря
Забытая серия при \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}: их две, -\frac{\pi}{4} + 2\pi n и -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m. Одна серия — минус балл.
Отбор по окружности
Отметь концы отрезка и точки серий, выпиши корни числами, а не «k = -4, -3»: эксперт проверяет корни, а не значения параметра.
Проверка на Вникай
Загрузи фото своей записи в режиме «Проверь моё решение» — сервис сверит серии, отбор и оформление и скажет, что не засчитают.
Частые вопросы
Сколько баллов даёт задание 13 ЕГЭ по профильной математике?
Максимум 2 первичных балла: по одному за верно решённое уравнение и за верно отобранные корни на отрезке. Верный ответ без решения оценивается в 0 баллов.
Как отбирать корни на отрезке в задании 13?
Двумя способами: по числовой окружности, отметив концы отрезка и точки каждой серии, или перебором целых значений параметра. В обоих случаях каждый найденный корень выписывается явно, а концы отрезка проверяются отдельно.
Можно ли делить уравнение на cos x?
Только если доказано, что \cos x \ne 0. Иначе теряется серия \frac{\pi}{2} + \pi k — именно она входит в ответ демоверсии ФИПИ.
Как проверить своё решение задания 13 по критериям?
Сфотографируй свою запись и загрузи её на Вникай в режиме «Проверь моё решение»: сервис решит уравнение заново, сравнит серии и отбор с твоими и укажет шаг, за который снимут балл.
Полезное рядом
Проверь своё решение задания 13
Первая проверка с разбором — бесплатно и без регистрации. Сфотографируй запись, и Вникай покажет, что засчитает эксперт.