Задание 11 ЕГЭ профиль: найти коэффициенты по графику функции
По рисунку надо восстановить формулу функции. Подход один и тот же для параболы, гиперболы и корня — меняется только число снятых точек.
Чтобы решить задание 11 ЕГЭ по профильной математике, снимите с графика столько точек, сколько в формуле неизвестных букв, и подставьте их координаты — получится система уравнений. Берите только те точки, что лежат в узлах сетки. Для параболы удобнее пользоваться вершиной: её абсцисса равна минус b пополам на a, а свободный член c виден как точка пересечения с осью игрек. Для гиперболы сначала находят асимптоты — они дают сдвиги сразу.
В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 (ФИПИ, обсуждение до 30 сентября 2026) это задание идёт под номером 12: номер освободился, потому что задание про наибольшее и наименьшее значение функции из экзамена убрали. Тема и метод прежние.
Метод по шагам
Определи вид функции
Парабола — ax^2+bx+c; гипербола — \frac{k}{x+a}+b; корень — \sqrt{kx+a}+b; прямая — kx+b. Вид подписан в условии, но полезно сверить с картинкой.
Сними точки в узлах
Нужно столько точек, сколько неизвестных: для параболы три, для гиперболы обычно две плюс асимптоты. Точка между клетками даёт неверную систему.
Используй особые точки
Пересечение с осью Oy сразу даёт свободный член. Вершина параболы даёт связь x_в = -\frac{b}{2a}. Асимптоты гиперболы — это сдвиги a и b.
Найди то, что спрашивают
В ответе обычно не сами коэффициенты, а значение функции в точке. Подставьте её абсциссу в восстановленную формулу.
Разбор типовой задачи: парабола по вершине и точке
Условие
На рисунке изображён график функции f(x) = ax^2 + bx + c. Вершина параболы находится в точке (2;\ -7), а сама парабола пересекает ось ординат в точке (0;\ -3). Найдите f(5).
Решение по шагам
- Пересечение с осью Oy даёт свободный член: при x = 0 получаем f(0) = c = -3.
- Абсцисса вершины связана с коэффициентами: -\frac{b}{2a} = 2, откуда b = -4a.
- Подставим координаты вершины в формулу: f(2) = 4a + 2b + c = -7. С учётом b = -4a и c = -3: 4a - 8a - 3 = -7.
- Отсюда -4a = -4, то есть a = 1, тогда b = -4.
- Функция восстановлена: f(x) = x^2 - 4x - 3.
- Считаем требуемое значение: f(5) = 25 - 20 - 3 = 2.
- Проверка вершиной: f(2) = 4 - 8 - 3 = -7 — совпадает с условием.
Ответ: f(5) = 2
Ответ подтверждён вторым способом: коэффициенты найдены решением линейной системы по трём условиям, без использования формулы вершины, и значение f(5) снова равно 2.
Где теряют балл в задании 11
Вершина подставлена как обычная точка
Вершина даёт ДВА условия: и значение функции, и равенство -\frac{b}{2a} = x_в. Использовав только первое, получают систему с бесконечным числом решений.
Точки сняты между клетками
Координаты «примерно 1,3» превращают точную систему в неточную. Берите только пересечения с узлами сетки.
Знак сдвига у гиперболы
В формуле \frac{k}{x+a} вертикальная асимптота проходит по x = -a, а не x = a. Знак путают почти все.
Нашли коэффициенты и на этом остановились
В ответ идёт значение функции в указанной точке. Коэффициенты — только промежуточный результат.
Частые вопросы
Сколько точек нужно снять с графика?
Столько, сколько неизвестных в формуле: для параболы с тремя коэффициентами — три условия, для гиперболы вида k/(x+a)+b — три, но две из них обычно дают асимптоты.
Как найти коэффициенты гиперболы по графику?
Сначала асимптоты: вертикальная даёт сдвиг по иксу, горизонтальная — по игреку. Затем берут любую точку графика в узле сетки и находят оставшийся коэффициент k подстановкой.
Что делать, если график не проходит через узлы?
Ищите точки, отмеченные на рисунке жирным, — в этом задании их всегда рисуют. Если отмеченных точек нет, используйте вершину, асимптоты и точки пересечения с осями.
Полезное рядом
Проверим твоё решение по критериям
Сфотографируй запись — Вникай разберёт ход и покажет, где теряется балл.